Как се се получили формулите?

[marshal]

Някой знае ли как се е получила формулата за обем на кълбо? [tex]V=\frac{4\pi r^3 }{3 } [/tex]

и

[tex]1^2+2^2+3^2+ .... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6 } [/tex]

Последната формула е написана в сп. М+, бр. 2/2005, страница 15, към условието на зад. 14.

[Реклама]

[ганка симеонова]

Не знам, кой клас си, но за първата формула се ползват познания по мат. анализ. Доказателството не е тривиално.
Ще докажа втората.
За целта ще ползвам [tex](1+b)^3=1+3b+3b^2+b^3 [/tex]

[tex]1^3=1^3[/tex]
[tex]2^3=(1+1)^3=1^3+3.1+3.1^2+1^3 [/tex]
[tex]3^3=(1+2)^3=1^3+3.2+3.2^3+2^3[/tex]
[tex].....................................................[/tex]
[tex](1+n)^3=1^3+3n+3n^2+n^3 [/tex]
Имаме (n+1) равенства. Да ги съберем по колонки. Получаваме

[tex]1^3+2^3+...n^3+(n+1)^3=1.(n+1)+3(1+2+...n)+3(1^2+...n^2)+1^3+2^3+...n^3 [/tex]

Означаваме [tex]1^2+...n^2=S[/tex] и като изразим тази сума, получаваме
[tex]3S=(n+1)^3-(n+1)-3\frac{1+n}{ 2} n [/tex]

Тук ползвам, че [tex]1+2+...+n=\frac{1+n}{ 2} n[/tex] (сума на аритметична прогресия)
След приведение, се получава и исканото.
[tex]S=\frac{1}{ 6} n(n+1)(2n+1) [/tex]

[marshal]

Благодаря!

ПП: Извинявай за закъснението...