Математическа индукция

[ганка симеонова]

Ще ми е интересно, да споделите, ако сте учител (или си представите, че сте учител), как бихте преподали
"Математическа индукция"

[Реклама]

[estoyanovvd]

Колко плащаш за урок?

[ганка симеонова]

[estoyanovvd]

Ами кажи първо твоя подход, защото иначе изглежда като изпитване! Има вероятност моят подход да съвпада с твоя, нали?

[NoThanks]

[ганка симеонова]

[NoThanks]

Пубертетски са вашите изказвания и заяждания.(в това число и горното). А ако аз съм начинаещ студент, то като ви гледам постовете вие сте един доста начинаещ преподавател

[nikko1]

Престанете да се заяждате и да пускате offtopic-и. Мисля, че г-жа Симеонова зададе въпрос към преподавателите, а не към г-н "Не, благодаря".

[NoThanks]

Не е вярно! (справка: 1вия пост!)

[martosss]

Добре, не мога да разбера защо спорите, вместо да отговорите на запитването(в частност No thanks, който излишно налива масло в огъня). Според мен Г-жа Симеонова е в достатъчно добра кондиция да си реши всички задачи, които е пуснала досега във форума, та даже и на другите да и остане време да помага. Още повече, че е учител и не би трябвало да се поставя под съмнение въпросът дали ще може да си предаде урока за ММИ или не.
Би било добре, ако, вместо да се спори, всеки изложи своето предложение( това важи и за г-жа Симеонова). С това според мен ще се обогатите много повече, отколкото ако си разменяте червени кръгчета на бял фон.

Ето една интерпретация, която ми дойде на ум(не знам дали е уместна, но по-добре да спорим за това, отколкото дали някой е зрял или дали друг може да решава задачи!) :

Нека имаме един затвор със заключени килии, номерирани с числата от [tex]1[/tex] до [tex]n[/tex] и във всяка една килия да има по един ключ(може да го представите и като училище, пълно със заключени класни стаи, в които има ученици от 11 клас и по 1 ключ ).
И сега, за да отключим всички килии ни е достатъчно да са изпълнени две условия:
1. да имаме ключ за първата килия.
2. ключът от дадена килия да отключва следващата килия.

Ако тези две условия са изпълнени, то ние влизаме в първата стая, взимаме ключа за втората стая, влизаме във втората стая, взимаме ключа за третата стая и т.н. докато не обиколим всички стаи.

По същия начин стоят нещата и в математиката:
Ако имаме една редица от числа и искаме да докажем, че дадено правило е в сила за тези числа, то трябва да знаем първото число и правило, с което да сме сигурни, че от дадено число може да получим следващото число(все едно от точка А да отидем в точка В, от една стая да отидем в следващата стая или нещо от този сорт) .

И сега вече може да въведете понятията:
Понеже е индукция, то всичко е индукционно!

1. Трябва да имаме хипотеза, тоест предположение каква може да е връзката между числата. Ако трябва да си говорим за стаи и ключове, то трябва да имаме карта с маршрут коя след коя стая да обиколим. Тъй като ние не сме сигурни дали това е вярно, то се нарича индукционно предположение.

2. Трябва да докажем, че нашата хипотеза е изпълнена за първата стойност от разглеждания интервал. С други думи трябва да имаме първия ключ, за да можем да започнем обиколката. Това явно си няма име, това е началото.

3. Трябва да докажем, че ако сме стигнали до някоя врата(примерно до вратата на мъжката тоалетна) то задължително като влезнем вътре ще намерим ключа за слеващата врата от маршрута(примерно вратата за дамската тоалетна). С други думи, че ако нашето твърдение е вярно за първите няколко члена, примерно първите k на брой члена( за по-нагледно си представяйте k като някакво число, примерно за първите 10 члена), то е вярно и за следващия, тоест за k+1-вия член( тоест за 11-тия член). Тази стъпка се нарича Индукционна стъпка.

Това трябва да се докаже в общия случай, тоест с буквички, защото ако само заместим с конкретни стойности, то не може да сме сигурни, че ще е изпълнено в общия случай.
Тоест ако проверим САМО това, че от вратата на мъжката отиваме в дамската, не можем да сме сигурни, че от дамската няма да отидем в някоя вече добре позната стая( примерно тази на директора ).

И това е всичко, нека пак да повторим накратко:

1. правим маршрут( измисляме формула - това е може би най-трудната част от цялото упражнение)
2. намираме първия ключ(доказваме формулата за първото число)
3. доказваме, че от стая № К задължително отиваме в стая № К+1 (Допускайки, че твърдението е изпълнено за к-тия елемент го доказваме за к+1-вия елемент.) - малко е изкуствено, ама все пак сме в час по математика!

Очаквам коментари, мнения и, най-важното, ВЪПРОСИ относно урока(това не трябва да го забравяте. Също така трябва да се опитвате да отговорите по-простичко и, много важно!!!, по различен начин на даден въпрос относно примерно стъпка 3, а не да повторите казаното по-горе, защото явно, че въпросният човек не го е разбрал и затова пита. )

[Grievery]

Е, хубаво... и аз да се намеся в тази (за съжаление) тема-спам. Слятам, че г-жа Симеонова е изключително добър и ерудиран преподавател и че всякакви обвинения относно нейната компетентност са напълно безпочвени.
По темата: аз съм ученик, но взехме "Математическа индукция" в четвъртък, така че мога да споделя какъв е бил подходът на моята учителка. Разбира се, не претендирам, че той е идеален. Госпожата започна с пример, докажете, че: [tex]1.2+2.5+...+n(3n-1)=n^{2}(n+1)[/tex]. Каза ни, че прилагането на ММИ се свежда до изпълнението на три основни стъпки. В конкретния случай:

1) Проверка за вярност на твърдението при [tex]n=[/tex]най-малкото възможно естествено число за съответното твърдение. В случая: [tex]n=1[/tex], тъй като нямаме никакви ограничения за [tex]n[/tex].
[tex]1.2=1^{2}(1+1)[/tex] - вземаме съмо първите [tex]n[/tex] събираеми, в случая само първото.
[tex]2=2 [/tex] [tex]\Rightarrow [/tex] твърдението е вярно.

2) Допускаме, че при [tex]n=k[/tex] е вярно:
[tex]1.2+2.5+...+k(3k-1)=k^{2}(k+1)[/tex]

3) Проверка за вярност при [tex]n=k+1[/tex]
[tex]1.2+2.5+...+(k+1)[3(k+1)-1]=(k+1)^{2}(k+1+1)[/tex]
[tex]1.2+2.5+...+(k+1)(3k+2)=(k+1)^{2}(k+2)[/tex]

Вземаме само лявата част на уравнението, като записваме предпоследния и последния елемент на редицата - предпоследният елемент е при [tex]n=k[/tex] - получили сме го от стъпка 2). Освен това знаем, че сбора на първите [tex]k[/tex] елемента е [tex]k^{2}(k+1)[/tex].

[tex]\underbrace{1.2+2.5+...+k(3k-1)}_{k^{2}(k+1)}+(k+1)(3k+2)=k^{2}(k+1)+(k+1)(3k+2)=(k+1)(k^{2}+3k+2)=(k+1)^{2}(k+2)[/tex]

Извод: Според ММИ равенството е вярно за [tex]Vn\in N[/tex].

След това записахме следния "Алгоритъм за приложение на ММИ":
1) Проверяваме верността на твърдението за най-малкото естествено число, за което твърдението е дефинирано.
2) Извършваме индукционно допускане: допускаме, че твърдението е вярно за произволно естествено число [tex]k[/tex].
3) Проверяваме верността на твърдението за естественото число [tex]k+1[/tex].
Ако твърдението е вярно при [tex]k+1[/tex], правим извода: "Според ММИ твърдението е вярно за [tex]Vn\in N[/tex]".

Часът продължи с малко упражнения на новите знания. След това взехме второ приложение на ММИ - за делимост на числа. Отново обяснението беше с конкретен пример...

Докажете, че [tex]n^{3}+5n[/tex] се дели на 6 за [tex]Vn\in N[/tex]. По аналогичен начин като първото приложение:
1) Проверяваме верността при [tex]n=1[/tex].
[tex]1^{3}+5.1=6[/tex]
[tex]6=6 [/tex] [tex]\Rightarrow [/tex] твърдението е вярно.

2) Допускаме, че при [tex]n=k[/tex] твърдението е вярно.
[tex]k^{3}+5k[/tex] се дели на 6. Записваме израза като произведение на числото 6 и някакво друго естествено число. [tex]k^{3}+5k=6l[/tex]

3) Проверяваме верността при [tex]n=k+1[/tex].
[tex](k+1)^{3}+5(k+1)[/tex] дели ли се на 6?
[tex](k+1)^{3}+5(k+1)=k^{3}+3k^{2}+3k+1+5k+5=\underbrace{k^{3}+5k}_{6l}+\underbrace{1+5}_{6}+3k^{2}+3k=6l+6+3k^2+3k=6l+6+3k(k+1)[/tex]
Имаме числата [tex]k[/tex] и [tex]k+1[/tex], които са две последователни естествени числа [tex]\Rightarrow[/tex] едното от тях е четно [tex]\Rightarrow[/tex] можем да запишем произведението им като [tex]2l_{1}[/tex].
Така получаваме че изразът е равен на: [tex]6l+6+3k(k+1)=6l+6+3.2l_{1}=6l+6+6l_{1}=6(l+l_{1}+1)[/tex]
Извод: Според ММИ изразът [tex]n^{3}+5n[/tex] се дели на 6 за [tex]Vn\in N[/tex].

Остана и още едно приложение, но го оставихме за следващия час, който е в понеделник - приложение на ММИ за доказване на неравенства.

П.П. Разбира се, това е стандартния метод, нали така? Все пак смятам, че това дали ще им е интересно на учениците не зависи само от учителя... в много случай ако някой иска да слуша и разбере нещо, ще го направи независимо от обяснението.

[ганка симеонова]

Хмм, Март, страхотно е..
Аз, знаеш ли, за какво си мислех?
За плочки от домино. Наредени вертикално ( изправени) в редица.
Ако 1- та плочка бутне 2- та, то 2- тата ще бутне 3-тата и т.н.
Тоест всяка к- та плочка ще бутне (к+1)-та, ако е бутната от (к-1) -та.
Бутането на плочката, значи вярно твърдение.
Благодаря, Март и Grievery

[krainik]

Странно, и wikipedia мисли по същия начин. Да не повярва човек!

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

[martosss]

Ами то принципно само като говоря и нищо не ми идав на ум, като седна да пиша и едно по едно си се напасват нещата. А и 11-класниците общо взето са на това дередже

[estoyanovvd]

Моето скромно мнение е, че ако се ползва подхода на Мартос, то всички ученици ще намразят индукцията или поне няма да я разберат. Би могло да се почне с някоя проста задачка свързана с твърдение за естествени числа. Такива дал господ. И от там съвсем естествено възниква въпросът как да докажем верността на твърдението от задачата за безброй много числа. С проверка? Едва ли. И тук ни идва на помощ аксиомата на Пеано, която кой знае защо не споменахте и на която се крепи метода на математическата индукция, а защо не и самата математика? Та казвате я, значи тази аксиома и след това нещата са ясни. Какво толкова интересно трябва да търсите за да предадете тази индукция не ми е много ясно. Интересното, според мен идва после. Когато трябва да се усвои метода. Пълно е с интересни примери за неточно използване на индукцията и куриозите до които води това.
Да обобщя. Не мисля, че обяснението на една аксиома е кой знае колко интересна работа и второ - смятам за глупаво прекаленото залитане в посоката непременно да представяме математическите знания като забава и удоволствие!!! Не на последно място - г-жа Симеонова е добра учителка по математика, но несъмнено и много надменна женска!!!

[ганка симеонова]

"Женска"
Само тази фраза те поставя на едно стъпало с приматите, за съжаление..
ПП Да поясня ли, какво значи примат?

[estoyanovvd]

Постарах се да бъда възможно най-тактичен все пак!!!

[ганка симеонова]

[krainik]

[Flame]

Ако човек се абстрахира от всичко което може да се каже в афектно състояние и се погледне отгоре, ама много тгоре на нещата. Никой неможе да си изкриви мнението и да каже, че МИСИЯТА, която изпълнява Симеонова в този форум, много от нас не могат да изпълнят. Да обясняваме на Ачо дни наред какво е модул, не всички имаме това търпение!
Нека "отсяваме плявата", нея винаги ще я има.

Успех на всички!

[NoThanks]

Каква мисия? Ако погледнете по-ранните постове на ганка ще видите, че единствената мисия, която е изпълнявала е да понаучи едно-друго от другите "начинаещи студенти". Сега мисията й е да си рекламира курса, а въпросните й обяснения често се превръщат в откровени заяждания и показване на превъзходство над шестокласници Търпението й идва от бедния социален живот и липсата на друго за правене

[Flame]

[NoThanks]

Бих се срамувал, ако съм на 40 и правя постове като горните. Като съм на 18 и отговарям на обидите и подяжданията на една 40-годишна жена не виждам от какво има да се срамувам(но ще се радвам да ми обясниш на ЛС, ако искаш).

[ганка симеонова]

[_sssss]

А аз не мога да разбера какво сте се наежили всички! По колко минуса ще си раздавате за една тема?! Flame е абсолютно прав и е крайно време да престанете.
Това е форум за Математика, а не за мерене на пишки!
Ако ще се обиждате и т.н. - правете го на ЛС, защото едва ли само на мен вече ми се догажда да ви чета глупостите!

Нека спазваме добрия тон и да пишем по темата!*

*Аз самата не го правя в момента, но и не възнамерявам да продължавам. Няма да отговарам на каквито и да било въпроси и/или обиди, свързани с думите ми по-горе.

[NoThanks]

[Grievery]

Не знам защо, но ми се струва, че г-жа Симеонова все пак МОЖЕ да пише... На всеки се случва да направи някоя и друга техническа грешка (все пак не е написала морков с "ф")... А и това няма нищо общо с нейните знания по математика...