Интеграли, помощ!

[marianestieva]

Обяснете ми как се решават, моля
∫x³e³dx
∫(x²+3x+4)arccotgxdx
∫ln²xdx

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Първият интеграл: [tex]\int{x^3 e^3}dx=e^3\int{x^3}dx=e^3\int{\frac{4x^3}{4}}dx=\frac{1}{4}e^3\int{4x^3}dx=\frac{1}{4}e^3\int{d(x^4)}=\frac{e^3}{4}x^4+C[/tex]
Вторият: [tex]\int{sin 2x}dx[/tex]. Нека [tex]2x=u \Leftrightarrow x=\frac{u}{2}[/tex]. Тогава [tex]dx=d(\frac{u}{2})=\frac{1}{2}du[/tex]. Интегралът ни става [tex]\int{sin u}.\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int{sin u}du=\frac{1}{2}\int{d(- cos u)}=-\frac{cos u}{2}+C[/tex].
Тук, както и в предния пример, изнасяме константите пред знака на интеграла, , тоест [tex]\int{a h(x)}dx=a\int{h(x)}dx, \, a \ - \ const[/tex].

[marianestieva]

Благодаря!

[marianestieva]

Вторият интеграл успях да го реша , и го изтрих.Написах друг.

[Natali lubitel]

[tex]\int_{}^{ } ln^2xdx=xln^2x-\int_{}^{ } \frac{2xlnx}{x }dx [/tex] -използваме интегриране по части .
[tex]\int_{}^{ } lnxdx=xlnx-\int_{}^{ } \frac{x}{x } dx=xlnx - x+C [/tex].
Т.е. пак интегриране по части.

[Natali lubitel]

[tex] ( \frac{x^3}{3 }+\frac{3x^2}{ 2}+4x)'=x^2+3x+4 [/tex]
Затова
[tex] \int_{}^{ } (x^2+3x+4)arccotgxdx[/tex]=
=[tex]\int_{}^{ } arccotgxd(\frac{x^3}{ 3}+\frac{3x^2}{ 2}+4x) [/tex]
По - нататък също се решава с интегриране по части.

[Добромир Глухаров]

[tex]I=\int_{}^{ } (x^2+3x+4)arccotg(x)dx=\int_{}^{ } arccotg(x)d(\frac{x^3}{3 }+\frac{3x^2}{2 }+4x)=(\frac{x^3}{3 }+\frac{3x^2}{2 }+4x)arccotg(x)-\int_{}^{ } (\frac{x^3}{3 }+\frac{3x^2}{2 }+4x)d(arccotg(x))=[/tex]
[tex]=\frac{2x^3+9x^2+24x}{6 }arccotg(x)-\int_{}^{ }\frac{2x^3+9x^2+24x}{6 }(\frac{-dx}{1+x^2 })=\frac{2x^3+9x^2+24x}{6 }arccotg(x)+\frac{1}{6 }\int_{}^{ }\frac{2x^3+9x^2+24x}{1+x^2 }dx [/tex]

[tex]\frac{2x^3+9x^2+24x}{1+x^2 }=2x+9+22\frac{x}{1+x^2 } -9\frac{1}{1+x^2 } [/tex]

[tex]I=\frac{2x^3+9x^2+24x}{6 }arccotg(x)+\frac{1}{6 }(x^2+9x+11\int_{}^{ } \frac{d(x^2+1)}{x^2+1 } +9arccotg(x))[/tex]
[tex]I=\frac{2x^3+9x^2+24x}{6 }arccotg(x)+\frac{1}{6 }(x^2+9x+11ln(x^2+1) +9arccotg(x))[/tex]

[ганка симеонова]

[marianestieva]

Възможно е, но така ми е даден за домашно и на мен интеграла.Много благодаря за помощта на всички!!!