задача

[Donatello]

Дадени са квадратните тричлени[tex] f(x)=x^2+\frac{8}{ k} .x - 2k[/tex] и [tex]g(x)=x^2+\frac{6}{ k}.x - k[/tex], където [tex]k\ne 0[/tex], е реален параметър. Да се намерят стойностите на [tex]k[/tex] , за които всяко от уравненията [tex]f(x)=0[/tex] и [tex]g(x)=0[/tex] има по два различни корена и между двата корена на едното уравнение лежи точно един корен на другото уравнение.

[Реклама]

[martosss]

Имаш, че [tex]f(x)=g(x)+\frac{2}{k}x-k[/tex] и ако корените на [tex]g(x)[/tex] са [tex]x_3\: u\: x_4[/tex], то трябва да е изпълнена системата

[tex]\begin{tabular}{|1}f(x_3)*f(x_4)<0\Right (0+\frac{2x_3}{k}-k)(0+\frac{2x_4}{k}-k)<0\\D_1>0\\D_2>0\end{tabular}[/tex]

първото разкриваш скобите и с Виетоправиш сбор и произведение за х3 и х4, при което се решава лесно.

[_sssss]

[tex]\normal f(x)=g(x) \Leftrightarrow x=\frac{k^2}{2}[/tex]
Пресичат се само на едно място.
[tex]\normal f\(\frac{k^2}{2}\)<0 \Leftrightarrow k(k+2)(k^2 - 2k + 4)<0 \Leftrightarrow k \in (-2; \, 0)[/tex]

[tex]\normal k \in (-2; \, 0)[/tex]