Конкурсна тема-УАСГ 13.07.2005

[DevilFighter]

1зад. а) Да се реши уравнението tg(t² - t)cotg2 = 1
б)Определете кои от корените на горното уравнение лежат в интервала (-п/2 ; п/2 )
в)Нека 0 < t₀ < t₁ < .... < t₁₀₁ са първите 101 последователни положителни решения на даденото уравнение.Докажете, че t₁² + t₂² + ..... + t₁₀₁² = t₁ + t₂ + ..... + t₁₀₁ + 202 + 5050п

Отговори: а) t = [1 ± sqrt(9 + 4kп)] / 2 , к = 0,1,2,...
б) t = -1 E (-п/2 ; п/2 )

а) подточка се прави,ама б) и в) (особено) са мор Който може да помага

[Реклама]

[omeganet]

Ето примерни решения на Б и В. Не съм писал много подробно, но се надявам да ме разбереш

[DevilFighter]

omeganet Благодаря ти!Специални благодарности и на r2d2 . Много ми помогнахте

[martin_bg]

omeganet като гледам си подхванал доста тегав път за подточка в) Ето и моето скромно решение :
нека t(n)*t(n) = t(n) + p, къде p e реално число =>
=> p = t(n) ( t(n) - 1 ) , но от формулите на Виет намираме , че t(n) + t(n)2 = 1 , където t(n)2 ти е другия отрицателен корен на двойката.
=> p= - t(n)*t(n)2 , но от Виет знаем , че t(n)*t(n)2 = c/a = - (2 + n*pi)
=> p = 2+n*p

И сега неравенството добива вида t1*t1 + t2*t2 + ... + t101*t101 = t1 + 2 + pi + t2 + 2 + 2*pi + ... + t101 + 2 + 101*pi = t1 + t2 ... +t101 + 101*2 + pi + 2*pi + .... 101*pi и накрая забелязваме , че имаме аритметична прогресия чиито сбор лесно намираме по формулата за сбор на аритметична прогресия , че е 5050*pi.

[omeganet]

На изпит нямаш много много време да мислиш, така че тегав не тегав, пишеш това, което първо ти хрумне

[martin_bg]

[immo]

И как се решава а подточка?

[Fed]

tg(t² - t)cotg2 = 1

<=> tg(t² - t)=1/cotg2

<=> tg(t² - t)=tg2

<=> t²-t=2+k∏

...

[name01]

[tex]tg(t^2-t)=tg(2)\Rightarrow t^2-t=2 +k\pi[/tex]

[tex]t^2-t-2-k\pi=0,\hspace{10}D=1+8+4k\pi=9+4k\pi \Rightarrow t_1=\frac{1+\sqrt{9+4k\pi}}{2},\hspace{10}x_2=\frac{1-\sqrt{9+4k\pi}}{2}[/tex]

[sunshine]

Къде са отговорите на omeganet зa б), в) ?..че нещо ми убягват

[martosss]

Ако дадеш цитат на първия пост на омега нет ще видиш, че има снимки... за съжаление тези снимки вече не са видими.

[sunshine]

Ех.. жалко, айде някой ако му се занимава да ги реши пак или да подскаже как ..