Докажете че е непериодична...

[Тодорчо]

Знамм че решението ще е някакво елементарно, ноо са мъче 1 час върху нея и не ми идва музата...

[Реклама]

[_sssss]

[tex]\normal f(x) \ne f(x+k) \\ cos x + cos (\sqrt{2} x) \ne cos (x + k) + cos(\sqrt{2} x + \sqrt{2} k)[/tex]

[tex]\normal sin (\frac{2x + k}{2}) sin (\frac{-k}{2}) \ne sin (\frac{2\sqrt{2} x + \sqrt{2} k}{2}) sin (\frac{\sqrt{2} k }{2})[/tex]

За [tex]\normal x=0[/tex] имаме, че исканото е изпълнено.
[tex]\normal - sin^2 (\frac{k}{2}) \ne sin^2 (\frac{\sqrt{2} k}{2})[/tex]

[tex]\normal sin A=sin B=0 \leftrightarrow A=B=n \pi \\ k \ne \sqrt{2}k \to 1 \ne \sqrt{2}[/tex]

Не съм сигурна, че това е достатъчно. Може би ще трябва с индукция?
Но като се замисля, май е достатъчно да покажем, че стойността в една точка не се повтаря през определен период, за да кажем, че не е периодична?

Edit: имах лоша техническа грешка!

[Тодорчо]

какк така изведнъж от cos стана sin ??? нещо не ми е ясно

[_sssss]

от формулата за разлика на косинуси.

[tex]\normal cos x - cos (x + k)= cos (\sqrt{2}(x+k)) - cos(\sqrt{2}x)[/tex]

[Тодорчо]

сефте го чувам... аа и то в задачата е +

[martosss]

Имаме [tex]f(x)=\cos x+\cos (\sqrt 2x)=2\cos(x\frac{\sqrt 2+1}{2})\cos(x\frac{\sqrt 2-1}{2})[/tex]

Търсим кога примерно [tex]f(x)=0[/tex] =>

[tex]x\frac{\sqrt 2-1}{2}=\frac{\pi}{2}\Right x=\frac{\pi}{\sqrt 2-1}=\pi (\sqrt 2+1)[/tex]
Аналогично за другия множител:
[tex]x\frac{\sqrt 2+1}{2}=\frac{\pi}{2}\Right x=\pi (\sqrt 2-1)[/tex]
Получихме, че [tex]f(\pi (\sqrt 2-1))=f(\pi(\sqrt 2+1))=0\Right[/tex] периодът е най-много [tex]\pi (\sqrt 2+1)-\pi (\sqrt 2-1)=2\pi[/tex]
Тоест трябва ако добавим още 2п да получим пак 0 -
Сега пресмяташ [tex]f(\pi (\sqrt 2+3))[/tex] и доказваш, че не е равно на 0 с което си готов.

[r2d2]

Допускаме, че функцията е периодична, т.е има число [tex]T \ne 0[/tex] и равенството [tex]\cos x + \cos (\sqrt{2}x) = \cos(x+T) + \cos (\sqrt{2}(x+T))[/tex] изпълнено за всяко х от деф. множество.
В частност за x =0 получаваме:[tex] \cos 0 + \cos 0 = 2 = \cos T + \cos \sqrt{2}T[/tex], което е равносилно със системата [tex]\cos T = 1; \; \cos \sqrt{2}T=1.[/tex]

От първото уравнение имаме [tex]T = 2k\pi,[/tex] за някакво цяло k, а от второто [tex]\sqrt{2}T=2n\pi [/tex] за някое цяло n.
Делим второто на първото и получаваме [tex]\sqrt{2} = \frac {n}{k}.[/tex]

Допускането ни доведе до това, че [tex]\sqrt{2}[/tex] e рационално число!

[Тодорчо]

мерси на всички... питах учителя и ми каза, че се решава като r2d2 мерси още веднъж