Регистрирайте сеРегистрирайте се

Twelve in one

Иди на страница 1, 2  Следваща
 
   Форум за математика Форуми -> Геометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Sep 25, 2009 9:19 pm    Заглавие: Twelve in one

Задача 1. Ортоцентърът на [tex]\triangle ABC[/tex], в който [tex]AC=BC[/tex], лежи върху вписаната окръжност. Да се докаже, че [tex]\tan\gamma=8\tan\alpha[/tex].

Задача 2. Намерете синуса на ъгъла при върха на равнобедрен триъгълник, ако периметрите на всички вписани в него правоъгълници, два от върховете на които лежат на основата му, са равни.

Задача 3. Намерете най-малкото разстояние между точки от графиките на [tex]f(x)=2x-1[/tex] и [tex]g(x)=x^4+3x^2+2x[/tex].

Задача 4. Дадена е функцията [tex]f(x)=x^2-a^2x+\frac{1}{4}a^4+3a-1[/tex], където [tex]a[/tex] е реален параметър:
а) да се определи [tex]a[/tex], ако се знае, че [tex]f(y_{\min})=a^2(10+\frac{a^2}{4})-4a(a^2+1)-2[/tex];
б) ако [tex]a=\frac{1}{2}t_{0}[/tex], където [tex]t_{0}[/tex] е най-голямото цяло решение на неравенството [tex]\log_{\frac{1}{4}}\frac{2t-1}{t+1}<-2 cos 36^\circ cos 72^\circ[/tex], да се покаже, че функцията [tex]g(x)=x^3-f(x)[/tex] няма екстремум.

Задача 5. Функцията [tex]f(x)[/tex] е дефинирана за [tex]x \in (-\infty;0) \cup (0;+\infty)[/tex] и [tex]f(x)+3f(\frac{1}{x})=x^2[/tex]. Да се намери минималната стойност на [tex]f(u)[/tex], ако [tex]\log_{2} \log_{\frac{1}{2}} \frac{u-1}{u+1} \ge 0[/tex].

Задача 6. В [tex]\triangle ABC[/tex] ъглополовящата, медианата и височината, прекарани през върховете [tex]A, \, B[/tex] и [tex]C[/tex], се пресичат в една точка. Да се докаже, че [tex]\tan\alpha=\frac{sin\gamma}{cos\beta}[/tex].

Задача 7. Да се докаже неравенството [tex](1-x)^{\alpha}+x^{\alpha} \le 1[/tex] за всяко [tex]x \in [0;1][/tex].

Задача 8. Намерете най-малката стойност на параметъра [tex]p[/tex], за която екстремумите на функцията [tex]f(x)=x^3-6x^2+9x+\log_{3}p[/tex] и стойността ù при [tex]x_{0}=2[/tex], взети в някакъв ред, образуват геометрична прогресия.

Задача 9. Даден е равностранен [tex]\triangle ABC[/tex] със страна, равна на [tex]a[/tex]. От точка [tex]M \in AB[/tex] е спуснат перпендикуляр към [tex]BC[/tex] до пресичането им в точка [tex]N[/tex], след това – от точка [tex]N[/tex] – перпендикуляр към [tex]AC[/tex] до пресичането им в точка [tex]P[/tex], а накрая – перпендикуляр към [tex]AB[/tex] до пресичането им в точка [tex]Q[/tex]. Ако [tex]BM=x[/tex], да се определи положението на точка [tex]M[/tex] така, че изпъкналият четириъгълник [tex]MNPQ[/tex] да има най-голямо лице.

Задача 10. Лицето на околната повърхнина на правилна четириъгълна пирамида е [tex]S[/tex] и околната ù стена образува с основата остър ъгъл [tex]\alpha[/tex]. При коя стойност на [tex]\tan\alpha[/tex] пирамидата има най-голям обем?

Задача 11. Дадена е функцията [tex]f(x)=4x^2+15x-4[/tex]. Да се определи параметърът [tex]k[/tex] така, че [tex]f(x+k)[/tex] да няма свободен член. Да се намерят пресечните точки на графиката на функцията [tex]y=f(x+k)[/tex] с абсцисната ос, ако [tex]k_{1}[/tex] е равно на по-малката от получените стойности на [tex]k[/tex].

Задача 12. През връх на правилна четириъгълна призма минава равнина, която пресича призмата в ромб с остър ъгъл [tex]\alpha[/tex]. Намерете косинуса на ъгъла между тази равнина и основата на призмата.



Разстояние между графики.jpg
 Description:
 Големина на файла:  17.48 KB
 Видяна:  2431 пъти(s)

Разстояние между графики.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Fri Sep 25, 2009 10:10 pm    Заглавие: Re: Twelve in one

Задача 5.
[tex]\normal u\in(1; 3];[/tex]
[tex]\normal f(u)=u^2 - 3f\(\frac{1}{u}\) , \; \; f\(\frac{1}{u}\)=\frac{1}{u^2} - 3f(u)[/tex]

[tex]\normal f(u)=u^2 - 3(\frac{1}{u^2} - 3f(u)) \; \Leftrightarrow \; f(u)=\frac{3-u^2}{8u^2}[/tex]

[tex]\normal f'(u)=\frac{-(u^4 + 3)}{u^3}[/tex]

Функцията е монотонна и намаляваща в (1;3]. [tex]\normal min \; f(u)=f(3)=-\frac{13}{12}[/tex]

Задача 9.
Тук използваме правилото за катета с/у 30°.

[tex]\normal MB=x, \, NB=\frac{x}{2}, \, CN=\frac{2a-x}{2}, \, CP=\frac{2a-x}{4}, \, AP=\frac{2a+x}{4}, \, AQ=\frac{2a + x}{8}[/tex]

[tex]\normal S_{MNPQ}=S_{ABC} - (S_{MBN} + S_{NCP} + S_{APQ})[/tex]

Намираме лицата с формулата 0.5absin60. Малко ме мързи да пиша.

[tex]\normal S_{MNPQ}=\frac{\sqrt{3}}{8^2}(-11x^2 + 4ax + 4a^2)[/tex]
оттук [tex]\normal \Rightarrow max \, S=S\(\frac{2a}{11}\)[/tex]
отг. [tex]\normal x=\frac{2a}{11}[/tex]
Явно някъде бъркам в сметките.



9z.png
 Description:
 Големина на файла:  3.2 KB
 Видяна:  2401 пъти(s)

9z.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Fri Sep 25, 2009 11:26 pm    Заглавие:

На седма има ли ограничение за алфа?
За [tex]x=\frac{\sqrt{2}}{2}; \alpha=\frac{1}{2}[/tex] неравенството е невярно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Fri Sep 25, 2009 11:44 pm    Заглавие:

Би трябвало да има.
x=1/2
[tex]\normal \(\frac{1}{2}\)^\alpha \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \alpha \ge 1[/tex]

PS. Iovkov, като пускаш графики запаметявай в png, че така се замазва и си губи цветовете.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sat Sep 26, 2009 9:20 am    Заглавие:

Лили, за девета задача трябва да разгледаш функцията [tex]h(x)=-7x^2+4ax+4a^2 \Rightarrow h'(x)=-14x+4a[/tex]. Оттук [tex]h'(x)>0 \Leftrightarrow x \in (-\infty;\frac{2a}{7})[/tex] и [tex]h'(x)<0 \Leftrightarrow x \in (\frac{2a}{7};+\infty)[/tex]. Тогава [tex]h(x_{0})[/tex], където [tex]x_{0}=\frac{2a}{7}[/tex], е [tex]h_{\max}[/tex].
А може и по-лесно. Понеже [tex]a_{0}<0[/tex], то параболата е обърната с върха си нагоре и достига най-голяма стойност при [tex]x_{0}=-\frac{b}{2a_{0}} \Leftrightarrow x_{0}=\frac{2a}{7}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Sep 26, 2009 9:58 am    Заглавие: Re: Twelve in one

Spider Iovkov написа:
Задача 7. Да се докаже неравенството [tex](1-x)^{\alpha}+x^{\alpha} \le 1[/tex] за всяко [tex]x \in [0;1][/tex].

Ако х=0 или х=1, то имаме равенство.

Тогава нека [tex]x \in (0;1)[/tex], то полагаме [tex]x=\sin^2\be[/tex] и получаваме
[tex](\cos^2\be)^\alp+(\sin^2\be)^\alp\le 1[/tex].
За a≤0 неравенството не е изпълнено, за a>0 имаме
[tex](\cos^2\be)^\alp\le cos^2\alp\\(\sin^2\be)^\alp\le sin^2\be[/tex]
Оттук
[tex](\cos^2\be)^\alp+(\sin^2\be)^\alp\le \cos^2\be+\sin^2\be^\alp=1[/tex], като равенство се достига при a=1.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Natali lubitel
Начинаещ


Регистриран на: 15 Sep 2009
Мнения: 49

Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat Sep 26, 2009 12:14 pm    Заглавие:

Решение на задача 8.
[tex] f'(x)=3x^2-12x+9[/tex] . Локалните екстремуми са в точките x=1 и x=3- съответно лок. макс и лок. мин. Значи стойностите на f(1) ; f(2) и f(3) в някакъв ред да образуват геом. прогресия. От НДУ за последоват. членове на геом. прогресия следва ,че разл. възможности са 3- всеки от тези изрази да е средно геом. на останалите .
[tex] f(1)=log_{3}p+4 , f(2)=log_{3}p+2 , f(3)=log_{3}p , p>0[/tex]
Така получаваме : [tex] log_{3}^2p=(log_{3}p+4)(log_{3}p+2)[/tex] с решение
[tex]p=\frac{1}{ 3^{\frac{4}{ 3}} } [/tex]
[tex](log_{3}p+2)^2=(log_{3}p+4)log_{3}p[/tex] -няма решение и
[tex] ( log_{3}p+4)^2=(log_{3}p+2)log_{3}p[/tex] с решение
[tex] p = \frac{1}{3^{\frac{8}{ 3} } }[/tex] . Следователно търсената стойност на р е
[tex] p= \frac{1}{ 3^{\frac{8}{ 3} }} [/tex] .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sat Sep 26, 2009 2:15 pm    Заглавие:

Натали, всичко е точно, Smile . Хайде, пробвайте останалите задачи (особено стереометричните, Twisted Evil ).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Natali lubitel
Начинаещ


Регистриран на: 15 Sep 2009
Мнения: 49

Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat Sep 26, 2009 3:03 pm    Заглавие:

ABCDM-правилна четириъгълна пирамида , с основа ABCD-квадрат . AB=x. Построяваме MK перпенд. на BC в равн. BCM . BK=CK=[tex]\frac{x}{ 2} [/tex].
[tex] AC\cap BD=O, MO\bot (ABC) [/tex] . Нека OM=y . От триъг. MOK получаваме
[tex] tg\alpha =\frac{2y}{ x} , y=2xtg\alpha , \frac{x}{ 2MK}=cos\alpha [/tex]
[tex]MK=\frac{x}{ 2cos\alpha } . S=\frac{x^2}{ cos\alpha } x=\sqrt{Scos\alpha } [/tex].
[tex] V=\frac{2S\sqrt{S} \sqrt{cos^3{\alpha }}tg\alpha }{ 3} [/tex].
С малко преобразувания обемът се представя:[tex]V=\frac{2S\sqrt{S} \sqrt{cos\alpha -cos^3{\alpha }} }{ 3} [/tex]. Следователно обемът ще е максимален когато изразът под втория корен е максимален . Разглеждаме
[tex] f(\alpha )=cos\alpha -coa^3\alpha , \alpha \in (0,\frac{pi}{ 2} )[/tex].
Нека [tex]cos\alpha =t , t\in (0,1) , F(t)=t-t^3 [/tex] . F(t) с написаното деф. множ за t
има най - голяма стойност при [tex] t=\frac{1}{\sqrt{3} },
cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{3} } [/tex] .
Тогава [tex] sin\alpha =\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} }[/tex].
[tex] tg\alpha =\sqrt{2} [/tex].



Doc3.doc
 Description:

Свали
 Име на файл:  Doc3.doc
 Големина на файла:  25 KB
 Свален:  382 пъти(s)

Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Natali lubitel
Начинаещ


Регистриран на: 15 Sep 2009
Мнения: 49

Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat Sep 26, 2009 3:09 pm    Заглавие:

Малко допълнение към изпратеното решение
[tex] F(t)=t-t^3 ,t\in (0,1) [/tex] Максималната стоност на F(t) в даденото деф. множ.
е при [tex] t=\frac{1}{ \sqrt{3} } , cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{3} } [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Natali lubitel
Начинаещ


Регистриран на: 15 Sep 2009
Мнения: 49

Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat Sep 26, 2009 4:23 pm    Заглавие:

Нека ABCD[tex]A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex] e правилната четириъгълна призама с основен ръб AB=x , и нека сечението минава през върха А. За да получим сечение ромб
равнината му трябва да пресича ръбовете [tex]BB_{1}[/tex] и [tex] DD_{1}[/tex] в точки които определят права успоредна на BD. Нека това са точките B'D', и равнината на сечението ще пресича [tex] CC_{1}[/tex] във вътрешна точка. Тогава проекцията на сечението върху основата ABCD e квадратът ABCD. Да означим страната на ромба с z . От синусова теорема за триъг. AB'D' получаваме:
[tex] z=\frac{x\sqrt{2} }{ 2sin\frac{\alpha }{ 2} } , BD=B'D'=x\sqrt{2} [/tex] .
Нека ъгъла между основата и равнината на сечението е [tex]\beta [/tex] ,
[tex] S_{1}[/tex] е лицето на сечението ,а [tex] S_{2}[/tex] - лицето на проекцията му
върху (ABC) ,получаваме [tex] cos\beta =\frac{S_{2}}{ S_{1}}[/tex].
[tex]S_{1}=z^2sin\alpha =x^2cotg\frac{\alpha }{ 2} , S_{2}=x^2[/tex] .
Тогава [tex] cos\beta =tg\frac{\alpha }{ 2} [/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sat Sep 26, 2009 9:36 pm    Заглавие:

Натали любител, може и по-кратко, Smile . Ако страната на ромба е [tex]a[/tex], то намираме, че [tex]PR^2=2a^2(1- cos\alpha )[/tex]. От [tex]ACPR \ - \[/tex] правоъгълник, следва, че и [tex]AC^2=2a^2(1- cos\alpha )[/tex], откъдето от правоъгълния равнобедрен [tex]\triangle ABC \Rightarrow AB^2=a^2(1- cos\alpha )[/tex]. Ясно е, че [tex]S_{BPQR}=a^2 sin\alpha[/tex] и [tex]S_{ABCD}=a^2(1- cos\alpha )[/tex]. Сега от формулата [tex]S_{ABCD}=S_{BPQR} cos\varphi[/tex] изчисляваме [tex]cos\varphi = \frac{1- cos\alpha }{sin\alpha} \Leftrightarrow cos\varphi = \tan{\frac{\alpha}{2}}[/tex].


Призма и сечение ромб.png
 Description:
 Големина на файла:  35.09 KB
 Видяна:  2251 пъти(s)

Призма и сечение ромб.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sat Sep 26, 2009 9:55 pm    Заглавие:

Spider Iovkov написа:
Натали любител, може и по-кратко, Smile


Кое не е краткото на Натали?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Sep 26, 2009 9:57 pm    Заглавие: Re: Twelve in one

martosss написа:

[tex](\cos^2\be)^\alp\le cos^2\beta\\(\sin^2\be)^\alp\le sin^2\be[/tex]

Само ако [tex]\alpha \ge 1[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 7:40 am    Заглавие:

3 зад
Ще намерим в кои точки допирателната към g(x) е успоредна на f(x).
За целта ще искаме ъгловият коефициент на допирателната да е равен на 2.
[tex]4x^3+6x^2+2=2=>x_0=0[/tex]
Нека означим допирателната в точката 0 с [tex]h(x)=2x[/tex]
Тя ще пресича абсцисата в началото на координатната система в О. Нека f(x) пресича абсцисата в А. От О спускаме перпендикуляр към f(x), който ще я пресече в В.
Тогава търсеното разстояние ще е ОВ От [tex] \Delta ABO=>OB=\frac{2\sqrt{5} }{5 } [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 8:07 am    Заглавие:

6 зад
Нека означим ъглополовящата, медианата и височината съответно [tex]AL,BM,CD [/tex]
от това, че се пресичат=> [tex]\frac{AD}{DB } .\frac{BL}{LC }.\frac{CM } {MA}=1=>\frac{AD}{ DB} =\frac{LC}{ BL} =>AC||DL[/tex]
Означаваме [tex]AD=x; DB=c-x [/tex] От Талес и свойството на ъглополовящата=>[tex] \frac{x}{c-x } =\frac{b}{c } =>AD=\frac{bc}{b+c } ;DB=\frac{c^2}{b+c } [/tex]
[tex]\Delta ADC=>cos\alpha =\frac{c}{b+c } [/tex](1)
От sin th [tex]\Delta ABC=>sin\gamma =\frac{c}{a } sin\alpha =\frac{c}{ a.} cos\alpha .tg\alpha =\frac{c^2}{ a(b+c)} tg\alpha [/tex]
[tex]\Delta BDC=>cos\beta =\frac{DB}{ BC} =\frac{c^2}{a(b+c) } =>sin\gamma =cos\beta .tg\alpha [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 8:25 am    Заглавие:

1 зад
Упътване . Ако основата е а, то
[tex]\frac{a^2}{4 } =2r(2R-2r)[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 9:13 am    Заглавие: Re: Twelve in one

mkmarinov написа:
martosss написа:

[tex](\cos^2\be)^\alp\le cos^2\beta\\(\sin^2\be)^\alp\le sin^2\be[/tex]

Само ако [tex]\alpha \ge 1[/tex]

Не мисля

[tex]\frac{1}{2 } >\frac{1}{3 } =>\sqrt{\frac{1}{2 }} >\sqrt{\frac{1}{3 }} [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 11:39 am    Заглавие:

^
Госпожо Симеонова, прочетете пак какво съм написал аз и какво сте написала вие Wink .
Ако се логаритмува с основа [tex]cos^2\beta[/tex] излиза рочно това, което написах Wink .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 12:17 pm    Заглавие:

mkmarinov написа:
^
Госпожо Симеонова, прочетете пак какво съм написал аз и какво сте написала вие Wink .
Ако се логаритмува с основа [tex]cos^2\beta[/tex] излиза рочно това, което написах Wink .

Кое да се логаритмува? Аз не мисля, че Марто логаритмува.
Честно казано, не разбрах идеята ти, с този лог.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 12:31 pm    Заглавие:

Идеята ми е, че горното неравенство (и неравенствата, които адаша е написал) са верни само за [tex]\alpha \ge 1[/tex], а трябва да се разгледа и случаят [tex]\alpha \in (0;1)[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 12:35 pm    Заглавие:

mkmarinov написа:
Идеята ми е, че горното неравенство (и неравенствата, които адаша е написал) са верни само за [tex]\alpha \ge 1[/tex], а трябва да се разгледа и случаят [tex]\alpha \in (0;1)[/tex]

Да, сега разбрах, сори. Прав си Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 1:14 pm    Заглавие:

Да, извинявам се, значи при а <1 неравенството не е изпълнено(получава се с обратен знак). За a≥1 вече се получава вярно. Wink Така вече се надявам всичко да е наред. Наистина не се замислих изобщо. Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 4:25 pm    Заглавие:

И как стана това след като в условието на задачата е написано да се докаже неравенството без ограничение за алфа Shocked
Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 4:29 pm    Заглавие:

ами много лесно - условието не е вярно. Замести примерно с [tex]\alp =-1, x=0.5[/tex] и получаваш [tex]4\N \le 1[/tex].
Или пък при a>0 имаш за a=0.5, x=¼ получаваш [tex]\frac{1+\sqrt 3}{2}\N \le 1[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 4:55 pm    Заглавие:

за 3-та: най-малкото разстояние м/у 2те графики е разстоянието между графиката на 2х-1 и допирателната към графиката на другата ф-я, която е успоредна на 2х-1. Остава да напишем уравнението на въпросната допирателна; уравнението на права, перпендикулярна на 2х-1, да видим в каква точка тази права пресича 2х-1 и допирателната и смятаме разстоянието по добре познатата формула Smile Иначе за горната явно условието куца и тн Smile
Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 5:04 pm    Заглавие:

Куца.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Sun Sep 27, 2009 11:09 pm    Заглавие:

Впрочем извинявам се за дублиращото се решение на 3та. Просто след въпросителната около неравенството мартос ми писа, че сега мислел върху 3-та, която всъщност си е доста стандартна и затова набързо драснах това упътване без да видя (същото) решение на ганка. Rolling Eyes
П.П иначе сега погледнах и 9-та. Всички отсечки могат да се изразят от правоъгълни 3ъгълници с ъгли 30 градуса. Лицето на MPQ се смята като PQ.MQ/2 и е функция на а и x(лесно се изразява). Aко PN X AB = W с един Менелай изразяваме BW и от там и отношенията на лицата MWP:MQP и тн. Накрая лицето остава като ф-я на a и х при x=<a
Върнете се в началото
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Mon Sep 28, 2009 2:39 am    Заглавие: Re: Twelve in one

Задача 4.
a)[tex]\normal f\(f\(\frac{a^2}{2}\)\)=f(3a-1)=a^2(10+\frac{a^2}{4})-4a(a^2+1)-2[/tex]
[tex]\normal a^3 + a + 1=0[/tex] - не мога да го реша посмъртно. Коренът е в (-1;0), така че сигурно се ползва гнусното полагане a=sinx, дето не го знам. Laughing

За б) трябва да докажем, че [tex]\normal D_{f'} \le 0, \; a^2 \ge \frac{1}{3}[/tex]
[tex]\normal t \in (-\infty ; -1)\cup (0.5; +\infty) \\ 2 cos 36^\circ cos 72^\circ =\frac{2sin 72 cos 72}{2sin36}=\frac{sin144}{2 sin36}=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\normal \frac{2t - 1}{t+1}>2 \Leftrightarrow \frac{-3}{t+1}>0\Leftrightarrow t<-1[/tex]

[tex]\normal a=\frac{1}{2}(-2)=-1[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Mon Sep 28, 2009 8:09 am    Заглавие: Re: Twelve in one

Spider Iovkov написа:
Задача 4. Дадена е функцията [tex]f(x)=x^2-a^2x+\frac{1}{4}a^4+3a-1[/tex], където [tex]a[/tex] е реален параметър:
а) да се определи [tex]a[/tex], ако се знае, че [tex]f(y_{\min})=a^2(10+\frac{a^2}{4})-4a(a^2+1)-2[/tex];

[tex]f(3a-1)=\frac{a^4}{4}-4a^3+10a^2-4a-2[/tex]
[tex](3a-1)\left(3a\N {-1} -a^2\N {+1}\right)\N {+\frac{a^4}{4}}=\N {\frac{a^4}{4}}-4a^3+10a^2-4a-2[/tex]
[tex]-3a^3\N {+10a^2}-3a=-4a^3\N {+10a^2}-4a-2[/tex]
[tex]a^3+a+2=0[/tex] Забележете... +2 !
[tex](a+1)(a^2-a+2)=(a+1)\left(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\right)=0[/tex]
[tex]\red\fbox{a=-1}[/tex]

Гнусното полагане тука не върви! Върви гнусната проверка. Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Геометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Иди на страница 1, 2  Следваща
Страница 1 от 2

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.