Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
mousehack Напреднал
Регистриран на: 30 Dec 2007 Мнения: 437 Местожителство: SOFIA гласове: 17
|
Пуснато на: Thu Sep 24, 2009 5:21 pm Заглавие: Докажете |
|
|
Ако [tex]\frac{1}{a }+\frac{1}{ b}+\frac{1}{ c}=0 [/tex],то [tex]\frac{bc}{a^2 }+\frac{ca}{b^2 }+\frac{ab}{c^2 }=3 [/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
naitsirk Напреднал
Регистриран на: 03 Jul 2008 Мнения: 295 Местожителство: Казанлък гласове: 34
|
Пуснато на: Thu Sep 24, 2009 6:04 pm Заглавие: |
|
|
[tex]\frac{1}{a }+\frac{1}{b }+\frac{1}{c }=0 [/tex] => [tex]\frac{ab+bc+ca}{abc }=0 [/tex] => [tex]ab+bc+ca=0[/tex].
Трябва да докажем, че [tex]\frac{b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3}{a^2b^2c^2 }=0 [/tex].
Имаме:
[tex](ab+bc+ca)^3=(ab+bc)^3+3(ab+bc)^2ca+3(ab+bc)c^2a^2+c^3a^3=[/tex]
[tex]=a^3b^3+3a^2b^3c+3ab^3c^2+b^3c^3+3(ab+bc)^2ca+3(ab+bc)c^2a^2+c^3a^3[/tex]
Имаме, че [tex]ab+bc=-ca[/tex] и като заместим в полученото, [tex]3(ab+bc)^2ca[/tex] и [tex]3(ab+bc)c^2a^2[/tex]се съкращават.
Получихме, че:
[tex](ab+bc+ca)^3=b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3+3ab^3c(a+c)=0[/tex] => [tex]b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3=-3ab^3c(a+c)[/tex].
От [tex]ab+bc+ca=b(a+c)+ca=0[/tex] имаме [tex]a+c=\frac{-ca}{b } [/tex], тогава
[tex]b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3=-3ab^3c\frac{-ca}{b }=3a^2b^2c^2[/tex].
Заместваме в [tex]\frac{b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3}{a^2b^2c^2 }=\frac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2 }=3 [/tex]
[tex]Q.E.D.[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Thu Sep 24, 2009 8:12 pm Заглавие: |
|
|
А може просто да заместиш [tex]a=\frac{-bc}{b+c}[/tex], след което да приведеш под общ знаменател и тъждеството излиза. |
|
Върнете се в началото |
|
|
krainik Фен на форума
Регистриран на: 01 May 2009 Мнения: 697
гласове: 44
|
Пуснато на: Thu Sep 24, 2009 8:42 pm Заглавие: |
|
|
Забележете, че [tex]a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc[/tex] ;] |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Thu Sep 24, 2009 9:00 pm Заглавие: |
|
|
Това какво общо има със сегашната задача? |
|
Върнете се в началото |
|
|
mousehack Напреднал
Регистриран на: 30 Dec 2007 Мнения: 437 Местожителство: SOFIA гласове: 17
|
Пуснато на: Thu Sep 24, 2009 9:14 pm Заглавие: |
|
|
Ами разбира се,че има:
a=ab
b=bc
c=ca
=> (ab)3+(bc)3+(ca)3=3a2b2c2 |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Thu Sep 24, 2009 9:19 pm Заглавие: |
|
|
аха, да, вярно ;] |
|
Върнете се в началото |
|
|
|