Регистрирайте сеРегистрирайте се

Докажете


 
   Форум за математика Форуми -> Алгебра
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 5:21 pm    Заглавие: Докажете

Ако [tex]\frac{1}{a }+\frac{1}{ b}+\frac{1}{ c}=0 [/tex],то [tex]\frac{bc}{a^2 }+\frac{ca}{b^2 }+\frac{ab}{c^2 }=3 [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 6:04 pm    Заглавие:

[tex]\frac{1}{a }+\frac{1}{b }+\frac{1}{c }=0 [/tex] => [tex]\frac{ab+bc+ca}{abc }=0 [/tex] => [tex]ab+bc+ca=0[/tex].
Трябва да докажем, че [tex]\frac{b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3}{a^2b^2c^2 }=0 [/tex].

Имаме:
[tex](ab+bc+ca)^3=(ab+bc)^3+3(ab+bc)^2ca+3(ab+bc)c^2a^2+c^3a^3=[/tex]
[tex]=a^3b^3+3a^2b^3c+3ab^3c^2+b^3c^3+3(ab+bc)^2ca+3(ab+bc)c^2a^2+c^3a^3[/tex]
Имаме, че [tex]ab+bc=-ca[/tex] и като заместим в полученото, [tex]3(ab+bc)^2ca[/tex] и [tex]3(ab+bc)c^2a^2[/tex]се съкращават.
Получихме, че:
[tex](ab+bc+ca)^3=b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3+3ab^3c(a+c)=0[/tex] => [tex]b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3=-3ab^3c(a+c)[/tex].
От [tex]ab+bc+ca=b(a+c)+ca=0[/tex] имаме [tex]a+c=\frac{-ca}{b } [/tex], тогава
[tex]b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3=-3ab^3c\frac{-ca}{b }=3a^2b^2c^2[/tex].
Заместваме в [tex]\frac{b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3}{a^2b^2c^2 }=\frac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2 }=3 [/tex]
[tex]Q.E.D.[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 8:12 pm    Заглавие:

А може просто да заместиш [tex]a=\frac{-bc}{b+c}[/tex], след което да приведеш под общ знаменател и тъждеството излиза. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 8:42 pm    Заглавие:

Забележете, че [tex]a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc[/tex] ;]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 9:00 pm    Заглавие:

Това какво общо има със сегашната задача? Shocked
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 9:14 pm    Заглавие:

Ами разбира се,че има:
a=ab
b=bc
c=ca
=> (ab)3+(bc)3+(ca)3=3a2b2c2
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 9:19 pm    Заглавие:

аха, да, вярно ;]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Алгебра Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.