Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача с три подусловия и задачи с параметри


 
   Форум за математика Форуми -> Функции / Производни
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 11:04 am    Заглавие: Задача с три подусловия и задачи с параметри

Задача 1. Дадена е функцията [tex]f(x)=x^4-6x^2+12x-6[/tex]. Да се докаже, че:
а) функцията има единствен екстремум;
б) [tex]f(x)>0[/tex] за [tex]x \ge 1[/tex];
в) уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има два различни корена.

Задача 2. За кои стойности на параметъра [tex]a[/tex] уравнението [tex]x^3-3x+a=0[/tex] има три различни решения?

Задача 3. Дадена е функцията [tex]f(x)=\frac{8(x^3+x)}{(2x+1)^3}[/tex]:
а) да се докаже, че ако [tex]x \in [\frac{1}{3};+\infty)[/tex], то [tex]\frac{16}{7} \le f(x) <1[/tex];
б) за кои стойности на параметъра [tex]a[/tex] уравнението [tex]f(x)=a[/tex] има точно две различни решения, принадлежащи на интервала [tex][\frac{1}{3};+\infty)[/tex]?

Задача 4. За кои стойности на параметъра [tex]a[/tex] уравнението [tex]\sqrt{2|x|-2x}=a-x[/tex] има един положителен и два отрицателни корена?

Задача 5. През точката [tex]A(2;-1)[/tex] от графиката на функцията [tex]f(x)=\frac{1}{1-x}[/tex] е построена допирателна към тази графика. Тя пресича параболата [tex]g(x)=-a^2x^2+5ax-4[/tex] в точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex]. Определете [tex]a[/tex], ако [tex]A[/tex] е среда на отсечката [tex]MN[/tex].

Задача 6. Докажете неравенството [tex]x^5+(1-x)^5 \ge \frac{1}{16}, \, x \in (-\inft;+\infty)[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 1:24 pm    Заглавие:

Готини задачки. Smile
На 5 получавам a=1? Това ли е отговорът?
4 - [tex]\normal a\in(0; \, 1)[/tex]


Последната промяна е направена от _sssss на Thu Sep 24, 2009 1:38 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 1:38 pm    Заглавие:

Да, така са, Smile . Хайде, напиши си решението и продължавай с другите, Smile . Ей, форумци, решавайте, Smile .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 2:17 pm    Заглавие:

Задача 5. Допирателната е [tex]\normal h(x)=x-3[/tex]
[tex]\normal g(0)<0, \, g(x)=0 \to x_1x_2>0[/tex]. За да е възможно исканото [tex]\normal x_1 + x_2>0, \, a>0[/tex];
Приемаме, че [tex]\normal M_x<N_x[/tex] , като те са корени на [tex]\normal g(x)=h(x)[/tex]

I. A лежи на симетралата на MN, когато абсцисата на A съвпада с абсцисата на върха на параболата.
[tex]\normal -a^2x^2 + x(5a-1) - 1=0 \\ \frac{5a-1}{2a^2}= \Leftrightarrow a_{1,2}=\frac{1}{4}, \, 1[/tex]
[tex]\normal D>0 \Leftrightarrow a\in (0; \frac{1}{7})\cup (\frac{1}{3}; + \infty)[/tex]
a=1

И някакъв друг опит. Laughing

II. Поглеждаме си чертежа.
[tex]\normal (1)AM^2 = (M_y + 1)^2 + (2 - M_x)^2 = AN^2 = (N_y + 1)^2 + (2 - N_x)^2[/tex]

[tex]\normal M_y=h(M_x) \Leftrightarrow M_y = M_x - 3[/tex]

[tex]\normal (1) \to 2(M_x - 2)^2=2(N_x - 2)^2 \\ (M_x-N_x)(M_x + N_x - 4)=0 \Leftrightarrow M_x + N_x=4[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 3:08 pm    Заглавие:

задача 1.
[tex]f'=4x^3-12x+12[/tex]
[tex]f''=12(x^2-1)[/tex], [tex]f''=0[/tex] - [tex]x_{1,2}=\pm 1[/tex] => [tex]f'[/tex] расте в [tex](-\infty ;-1)[/tex], намалява в [tex](-1;1)[/tex] и пак расте в [tex](1;+\infty )[/tex].
Пресмятаме [tex]f(-1)>0[/tex], [tex]f(1)>0[/tex] и [tex]lim_{x->\pm \infty }f(x)=\pm \infty [/tex]. От Болцано следва, че [tex]f'[/tex] Има един реален корен => [tex]f(x)[/tex] има един екстремум.
[tex]f'(-2)>0[/tex], [tex]f'(-3)<0[/tex] => [tex]f'[/tex] има корен [tex]\alpha \in (-3;-2)[/tex]. => [tex]f(x)[/tex] намалява в [tex](-\infty ;\alpha )[/tex] и расте в [tex]\alpha ;+\infty [/tex] [tex](*)[/tex].
От [tex]1>\alpha [/tex] и от [tex](*)[/tex] => [tex]f(x)[/tex] расте в [tex](1;+\infty )[/tex] => [tex]f(x)\ge f(1)=1>0[/tex].
Oт [tex]f(0)=-6[/tex] и от [tex](*)[/tex] => че [tex]f(x)[/tex] има два реални корена.

задача 2.
[tex]f(x)=x^3-3x+a[/tex]
[tex]f'=2(x^2-1)[/tex], [tex]x_1=1[/tex], [tex]x_2=-1[/tex].
За да има [tex]f(x)[/tex] 3 реални корена трябва [tex]f(-1)=2+a>0[/tex] и [tex]f(1)=a-2<0[/tex] или [tex]а\in (-2;2)[/tex]

Задача 3.
[tex]f'= {{8(3x^2-4x+1}\over{(2x+1)^4}}[/tex], [tex]x_1=1[/tex], [tex]x_2=\frac{1}{3 } [/tex]. Най-малка стойност [tex]f(1)=\frac{16}{27 } [/tex], най-голяма [tex]lim_{x->\infty }f(x)=1[/tex].
Графично лесно определяме, че [tex]f(1)<a\le f(\frac{1}{3 } )[/tex] и ако правилно съм го сметнал [tex]\frac{16}{27 }<a\le \frac{16}{25 } [/tex]

другите ме домързя да ги пиша... Laughing може би по-късно
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 3:58 pm    Заглавие:

Задача 4.

[tex]\normal \mathbf{I}. \, x \ge 0 \\ x=a, \, a \ge 0[/tex]

[tex]\normal \mathbf{II}. \, x<0 \\ x
[tex]\normal x^2 - 2x(a-2) + a^2 \\ \begin{tabular}{||}x_1x_2>0 \\ x_1 + x_2<0 \end{tabular} \Leftrightarrow a<2[/tex]

[tex]\normal D>0 \Leftrightarrow a<1[/tex]

Окончателно [tex]\normal a\in(0; \, 1)[/tex];

Задача 6.
[tex]\normal f'(x)=5(x^4 - (1-x)^4)=5(2x-1)(x^2 + (1-x)^2)=0[/tex]
[tex]\normal min \, f(x)=f\(\frac{1}{2}\)=\frac{1}{16}[/tex]
Това е! Very Happy
Интересно ми е да видя решение без производни.


Последната промяна е направена от _sssss на Thu Sep 24, 2009 8:20 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 24, 2009 6:02 pm    Заглавие: Re: Задача с три подусловия и задачи с параметри

Spider Iovkov написа:
Задача 6. Докажете неравенството [tex]x^5+(1-x)^5 \ge \frac{1}{16}, \, x \in (-\inft;+\infty)[/tex].


6-та

След разкриване на скобите получаваме
[tex]x^4-2x^3+2x^2-x+\frac{3}{16}\ge 0[/tex]
Сега виждаме, че от първите две събираеми за да имаме точна степен, тя трябва да е
[tex](x-\frac{1}{2})^4=x^4-2x^3+\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}[/tex] и я отделяме:
[tex](x-\frac{1}{2})^4+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\ge 0[/tex]
Сега е всеки нормален човек ще забележи, че остатъкът е точен квадрат:
[tex]\left(x-\frac{1}{2}\right)^4+\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge 0[/tex]
И сега забелязваме, че отляво имаме точна четвърта степен и точен квадрат, с което задачата е решена. Wink

Казвам ви, че по точно този метод я реших - буквално за 5 минути.
Като стигнах до 4-та степен тръгнах да разглеждам случаи x<0, x=0 x>0, като за последното стигнах до това разлагане. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Функции / Производни Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.