тригонометрично уравнение

[waVe]

3^{2+sinx } = 27^{tg[tex]\frac{x}{2 }[/tex] }

Уравнението не е трудно, но има някои неща които не са ми ясни.Ако някой може да ми покаже решение...

[Реклама]

[ганка симеонова]

Ползвай универсалната субституция
Ако положим [tex]tg{\frac{x}{ 2}}=u=> sinx=\frac{2u}{ u^2+1} [/tex]

[Spider Iovkov]

Уравнението е равносилно съответно с [tex]3^{2+ sin x }=27^{\tan{\frac{x}{2}}} \Leftrightarrow 3^{2 + sin x }=3^{3 \tan{\frac{x}{2}}} \Leftrightarrow 2+ sin x = 3 \tan{\frac{x}{2}}[/tex]. Но [tex]sin x = \frac{2 \tan{\frac{x}{2}}}{1+ \tan^2{\frac{x}{2}}}[/tex]. Така получаваме [tex]2+\frac{2 \tan{\frac{x}{2}}}{1+ \tan^2{\frac{x}{2}}}=3 \tan{\frac{x}{2}}[/tex].
Сега полагаме [tex]\tan{\frac{x}{2}}=v[/tex] и достигаме до [tex]2+\frac{2v}{1+v^2}=3v \Leftrightarrow 3v^3-2v^2+v-2=0 \Leftrightarrow (v-1)(3v^2+v+2)=0[/tex] с единствен реален корен [tex]v=1[/tex]. Тогава [tex]v=1 \Leftrightarrow \tan{\frac{x}{2}}=1 \Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex].