За кои стойности на реалния параметър а уравнението

[martosss]

Значи тука ме тормози едно уравнение, какво ли не го правих, питах даже съученици, ама и те не успяха да ми помогнат, ако може и вие да му хвърлите един поглед?

За кои стойности на реалния параметър а уравнението

[tex]lg\left[2x^2-4(a-2)x+8+2a\right]=lg\left[x^2-2ax+a\right][/tex] има единствен реален корен.

Много ви се моля, за утре е задачата!

[Реклама]

[mkmarinov]

Логаритъма е еднозначна (как беше определението?) функция, т.е. lga=lgb <=> a=b.
Разбира се, трябва логаритмите да са дефинирани, т.е. а и б да са > 0 (това - после).
[tex]2x^2-4(a-2)x+2a+8=x^2-2ax+a[/tex]
[tex]x^2-2(a-4)x+a+8=0[/tex]
Да има единствен реален корен.
[tex]D=(a-4)^2-a-8=a^2-8a+16-a-8=a^2-7a-8=0[/tex]
=> a=-1;8.
Проверява се и кои са корените при тези стойности и дали при тях уравнението в първоначалния си вид има смисъл.
[tex]a=-1; x=-5[/tex]
[tex]2.(-5)^2-4.(-3).(-5)+8-2=50-60+8-2<0[/tex] - логаритъма от това не е дефиниран.
[tex](-5)^2-2.(-1).(-5)-1=25-11=14>0[/tex]
=> a=-1 не е решение.
Аналогично проверяваш и за а=8.

[Grievery]

Първо да кажа, че не съм сигурен за решението:

[tex]lg[2x^{2 }-4(a-2)x+8+2a]=lg[x^{2 }-2ax+a] \Leftrightarrow lg[2x^{2 }-4(a-2)x+8+2a]-lg[x^{2 }-2ax+a]=0[/tex]

[tex]lg[\frac{2x^{2 }-4(a-2)x+8+2a}{x^{2 }-2ax+a } ]=0 \Leftrightarrow \frac{2x^{2 }-4(a-2)x+8+2a}{x^{2 }-2ax+a } =1 \Leftrightarrow \frac{x^{2 }+2(4-a)x+8+a}{x^{2 }-2ax+a } =0[/tex]

Знаем, че в знаменателя не може да стои 0, затова зануляваме числителя...

[tex]x^{2 }+2(4-a)x+8+a=0[/tex]

Уравнението има само един реален корен при:

1.[tex]D=0[/tex]

[tex]a^{2 }-9a+8=0[/tex]

[tex]a_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2 } [/tex]

[tex]a_{1 }=8[/tex] [tex]a_{2 }=1[/tex]

При [tex]a=8[/tex], [tex]x=4[/tex]

[tex]2x^{2 }-4(a-2)x+8+2a=-40<0 \Leftrightarrow a=8[/tex] не е решение.

При [tex]a=1[/tex], [tex]x=-3[/tex]

[tex]2x^{2 }-4(a-2)x+8+2a=16>0[/tex] и [tex]x^{2 }-2ax+a=16>0 \Leftrightarrow a=1[/tex] е решение.

2.[tex]D>0[/tex] - сега нямам време да го напиша, ако някой не ме изпревари - утре!

[_sssss]

И двамата пропускате нещо.
Може единият корен да принадлежи на ДС, а другият - не. Така че, D=0 е само единият случай.

[martosss]

Добре, засега едно грешно решение(1-вото) и едно непълно решение(второто).

[mkmarinov]

Нека да се правя, че логаритъма не съществува. Имам две параболи (f(x) и g(x)), които трябва да имат точно една пресечна точка над нулата (защото трябва и двата израза да са положителни). Където се пресичат двете параболи са корените на финалното уравнение [tex]f(x)-g(x)=0[/tex].
[tex]x^2-2(a-4)x+a+8=0[/tex].
Нека тези корени са х1 и х2.
Искаш стойностите на функциите при тези корени да са с различни знаци, т.е. f(x1).f(x2)<0.
Ако f(x1)>0, то и g(x1)>0; lg(f(x1)) и lg(g(x1)) са дефинирани и х1 е решение.
Аналогично ако f(x2)<0, то х2 не е решение - каквото се търси в задачата.

Ако пак не ти е ясно защо - нарисувай си двете параболи и ще видиш .

И все пак, в решението си има много сметки...

[_sssss]

Може и без много сметки. Има едно съвсем мъничко нещо в тази задача, което трябва да забележите.

[martosss]

[naitsirk]

нека [tex]f(x)=x^2-2(a-4)x+a+8[/tex] и нека [tex]x_1,x_2[/tex] са корени на [tex]x^2-2ax+a=0[/tex]. Очевидно трудностите произхождат от това да изчислим [tex]f(x_1)f(x_2)[/tex]. Можем да си спестим много труд, ако запишем [tex]f(x)[/tex] във вида [tex]f(x)=x^2-2ax+a+8x+8[/tex] и сега тъй като [tex]x_1^2-2ax_1+a=0[/tex] за [tex]f(x_1)[/tex] имаме [tex]f(x_1)=8(x_1+1)[/tex], аналогично [tex]f(x_2)=8(x_2+1)[/tex]. В такъв случай [tex]f(x_1)f(x_2)=64(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_3+1[/tex] и от формулите на Виет имаме: [tex]x_1+x_2=2a[/tex] и [tex]x_1x_2=a[/tex]. Окончателно [tex]f(x_1)f(x_2)=3a+1[/tex] ...