От ПУ

[martosss]

Да се реши неравенството за х:
[tex]8\sqrt{1-2^x+2^{2x-2}}>2^{2x}-2^{x+2}+7[/tex]

[Реклама]

[ганка симеонова]

Свежда се до модулно неравенство

[martosss]

Мда, то било лесно. Няма нищо, за упражнение.

[ганка симеонова]

[Spider Iovkov]

Неравенството е равносилно с [tex]8\sqrt{1-2^x+\frac{(2^x)^2}{4}}>(2^x)^2-4.2^x+7[/tex]. Полагаме [tex]2^x=t, \, t>0[/tex], и достигаме до [tex]4|t-2|>t^2-4t+7[/tex]. Повдигаме на втора степен (имаме ли право директно да го направим?), представяме като разлика от квадрати и

[tex]\Rightarrow (t+1)(t-1)(t-5)(t-3)<0 \Leftrightarrow t \in (-1;1) \cup (3;5)[/tex].

От [tex]t>0[/tex] получаваме [tex]t \in (0;1) \cup (3;5) \Leftrightarrow x \in (-\infty;0) \cup (\log_{2}3; \log_{2}5)[/tex].

[martosss]

Браво, току що ми реши една задача от домашното. Ей, не ги разбирам тия неравенства, ако може още малко по-подробно да ми ги обясниш?

[Spider Iovkov]

Марто, кое точно не ти е ясно, ?

[martosss]

А бе не ги разбирам тия неравенства и толкоз, може ли \underline{\cyr{podrobno}} решение??

[Spider Iovkov]

Ясно е, че [tex]8\sqrt{1-2^x+2^{2x-2}}>2^{2x}-2^{x+2}+7 \Leftrightarrow 8\sqrt{1-2^x+\frac{(2^x)^2}{4}}>(2^x)^2-4.2^x+7[/tex]. Сега полагаме [tex]2^x=t[/tex]. Но по дефиниция показателната функция се изобразява с всички числа от интервала [tex](0;+\infty)[/tex], ето защо трябва [tex]t>0[/tex]. Заместваме в неравенството:

[tex]8\sqrt{1-t+\frac{t^2}{4}}>t^2-4t+7 \Leftrightarrow \frac{8\sqrt{t^2-4t+4}}{2}>t^2-4t+7 \Leftrightarrow 4|t-2|>t^2-4t+7 \, (*)[/tex].

Понеже [tex]t^2-4t+7=(t-2)^2+3>0[/tex], повдигаме на втора степен. Знаем, че [tex]|a|^2=a^2[/tex]. Тогава [tex](*)[/tex] е равносилно с [tex]16(t-2)^2>(t^2-4t+7)^2[/tex], откъдето лесно достигаме до

[tex][4(t-2)]^2-(t^2-4t+7)^2>0 \Leftrightarrow (\cancel {4t}-8+t^2-\cancel {4t}+7)(4t-8-t^2+4t-7)>0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (t^2-1)(-t^2+8t-15)<0 \Leftrightarrow (t+1)(t-1)(t-3)(t-5)<0[/tex].

Решенията на последното неравенство предвид [tex]t>0[/tex] са числата [tex](0;1) \cup (3;5)[/tex], което може да се изобрази и чрез системи:

[tex]\begin{array}{||} t>0 \\ t<1 \end{array} \cup \begin{array}{||} t>3 \\ t<5 \end{array}[/tex].

Но [tex]2^x=t[/tex]. В такъв случай

[tex]\begin{array}{||} 2^x>0 \\ 2^x<1 \end{array} \cup \begin{array}{||} 2^x>3 \, .|\log_{2} \\ 2^x<5 \, .|\log_{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} x \in R \\ x<0 \end{array} \cup \begin{array}{||} x> \log_{2}3 \\ x< \log_{2}5 \end{array}[/tex] – или [tex]x \in (-\infty;0) \cup (\log_{2}3; \log_{2}5)[/tex].

Сега, надявам се, всичко е ясно, .

[martosss]

Благодаря, Емо, всичко е ясно.