Окръжности, цели четири.

[martosss]

6.6.9. Три окръжности с центрове в точките [tex]A,\: B[/tex] и [tex]C[/tex] се допират две по две външно в точикте [tex]P,\: Q[/tex] и [tex]L[/tex]. Дадено е, че [tex]\sin\frac{\be}{2} =\frac{1}{3}[/tex], а сумата от радиусите на тези окръжности е [tex]12\sqrt 2[/tex]. Намерете най-голямата дължина, която може да има окръжността през [tex]P,\: Q,\: L[/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

Не е трудно да се докаже, че P, Q, L са допирните точки на вписаната в АВС окр. Да означим радиусите ( допирателните отсечки ) с [tex]x; y; 12\sqrt{2} -x-y[/tex]
[tex]tg{\frac{\beta }{2} } =\frac{1}{2\sqrt{2} } [/tex]
Aко означим центъра на вписаната окр. с О и ВР=х, то от [tex]\Delta BPO=>r=\frac{x}{ 2\sqrt{2} } [/tex]
Приравнявайки Хероновата формула и pr, повдигайки на квадрат и изразявайки х чрез y, получаваме
[tex]=x=f(y)=\frac{24\sqrt{2}y-y^2 }{3\sqrt{2}+2y } ;0<y<12\sqrt{2} [/tex]
В разглеждания интервал тази ф-я има НГС, която се достига за [tex]y=3\sqrt{2} =>f_{max}=6\sqrt{2} [/tex]
=>[tex]r_{max}=\frac{6\sqrt{2} }{ 2\sqrt{2} } = 3=>C_{max}=6\pi [/tex]