геометрия от ТУ

[martosss]

7.3.29. В равнобедрен трапец [tex]ABCD(AB||CD)[/tex] съществува отсечка [tex]MN[/tex], успоредна на основите, която го разделя на два трапеца, във всеки от които може да се впише окръжност. Ако радиусите на тези окръжности са [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex], намерете лицето на трапеца.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]\frac{2(R^2+r^2)(R+r)}{\sqrt{Rr}}[/tex] ли е отговорът? Ако е това, веднага ще пусна решението, .

[martosss]

Да, това е.

[Spider Iovkov]

Нека правата, успоредна на основите на трапеца, пресича бедрото [tex]AD[/tex] в точката [tex]M[/tex], а бедрото [tex]BC[/tex] – в точката [tex]N[/tex]. Центровете [tex]O[/tex] и [tex]I[/tex] на двете окръжности, вписани съответно в [tex]ABNM[/tex] и [tex]MNCD[/tex], лежат на симетралата на основите на дадения трапец. Да означим тази симетрала със [tex]SP[/tex], при което [tex]S \in CD, \, P \in AB[/tex]. Нека също така [tex]SP[/tex] да пресича [tex]MN[/tex] в точка [tex]F[/tex] и [tex]OP=OF=R, \, IS=IF=r[/tex].
Въвеждаме [tex]\angle BAM=\angle NMD=\varphi[/tex]. Тогава [tex]\angle AMN=\angle MDC=180^\circ-\varphi[/tex]. Сега се усещаме, че отсечката [tex]SP[/tex] е всъщност височината на трапеца, т. е. [tex]h=2(R+r) \, (*)[/tex].
От [tex]\triangle OFM \Rightarrow \tan(90^\circ-\frac{\varphi}{2})=\frac{FO}{FM} \Leftrightarrow \cot{\frac{\varphi}{2}}=\frac{FO}{FM} \Leftrightarrow FM=\frac{FO}{\cot{\frac{\varphi}{2}}} \Leftrightarrow FM=R \tan{\frac{\varphi}{2}}[/tex], а от [tex]\triangle FIM \ - \ \tan{\frac{\varphi}{2}}=\frac{FI}{FM} \Leftrightarrow FM=\frac{FI}{\tan{\frac{\varphi}{2}}} \Leftrightarrow FM=r \cot{\frac{\varphi}{2}}[/tex]. Приравняваме двата израза за [tex]FM[/tex] и намираме [tex]\tan{\frac{\varphi}{2}}=\sqrt{\frac{r}{R}}[/tex].
От [tex]\triangle AOP \Rightarrow \tan{\frac{\varphi}{2}}=\frac{OP}{AP} \Leftrightarrow AP=\frac{OP}{\tan{\frac{\varphi}{2}}} \Leftrightarrow AP=R \cot{\frac{\varphi}{2}} \Rightarrow AB=2AP \Leftrightarrow AB=2R\sqrt{\frac{R}{r}} \, (**)[/tex].
Аналогично от [tex]\triangle IST[/tex] имаме [tex]\tan(90^\circ-\frac{\varphi}{2})=\frac{IS}{DS}[/tex], откъдето [tex]CD=2DS \Leftrightarrow CD=2r\sqrt{\frac{r}{R}} \, (***)[/tex].
От звездичките по формулата за лице на трапец [tex] \ - \ S=\frac{a+b}{2}h[/tex], достигаме и до отговора: [tex]S=\frac{2(R^2+r^2)(R+r)}{\sqrt{Rr}}[/tex].

[Natali lubitel]

Успоредната права разделя дадения равнобедрен трапец на два също равнобедрени трапеца. Следователно вписаните окръжности се допират до средите на основите им. Да означим AB = 2x ( долната основа на дадения трапец ) CD=2y-горната му основа и MN=2z. S = [tex]\frac{(2x+2y)2(R+r)}{ 2} =2(x+y)(R+r)[/tex]-където 2R и 2r са височините на двата получени трапеца. Съединяваме краищата на бедро с центъра на вписаната в съответния трапец окръжност и се получават 2 правоъг. триъгълника с хипотенузи съответно y+z и z+x и височини към тях R и r . И трето уравнение ще получим като построим височина на дадения трапец и приложем Питагоровата теорема
Така получаваме системата уравнения
[tex] zx=R^2\cap zy=r^2\cap z^2-2xy-2Rr=0[/tex] Ако означим xy=t и почленно умножим това уравнение с първите две уравнения се получава
[tex] z^2=\frac{R^2r^2}{ t}[/tex] и уравнение за t [tex] t^2+2tRr-R^2r^2=0[/tex]
с положителен корен [tex] t=\frac{Rr(\sqrt{3}-1) }{2 } [/tex] За x+y се получава
[tex]\frac{(R^2+r^2)\sqrt{Rr(\sqrt{3}-1) } }{ Rr\sqrt{2} }[/tex]
От там търсеното лице
[tex] S=\frac{(R^2+r^2)(R+r)\sqrt{Rr(\sqrt{3}-1) } }{Rr\sqrt{2} }[/tex] .