Триъгълник и три точки

[Spider Iovkov]

В [tex]\triangle ABC[/tex] са отбелязани три точки – [tex]M \in AC, \, N \in BC, \, P \in MN[/tex], при което [tex]\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NB}=\frac{MP}{PN}[/tex]. Да се намери [tex]S_{\triangle ABC}[/tex], ако [tex]S_{\triangle AMP}=T[/tex] и [tex]S_{\triangle BNP}=Q[/tex].

[Реклама]

[martosss]

Означаваме си [tex]\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NB}=\frac{MP}{PN}=k[/tex].
Тогава [tex]\frac{S_{AMP}}{S_{MCP}}={AM\over MC}=k={T\over S_{MPC}}\Right S_{MPC}={T\over k}[/tex]
Аналогично [tex]{S_{NPC}\over S_{NBP}}=k\Right S_{PNC}=kQ[/tex]
[tex]{T\over S_{APN}}=k\Right S_{APN}=\frac{T}{k}[/tex]
[tex]{S_{MPB}\over Q}=k\Right S_{MPB}=kQ[/tex]
[tex]{S_{MPB}\over Q}=k\Right S_{MPB}=kQ[/tex]
Сега от Син. Т. за АВС и MNC получаваме

[tex]{S_{ABC}\over S_{MNC}}=\frac{AC}{MC}*\frac{BC}{NC}=(1+k)(1+\frac{1}{k})=\frac{(k+1)^2}{k}\Right S_{ABC}=\frac{(k+1)^2 S_{MNC}}{k}=\frac{(k+1)^2(\frac{T}{k}+kQ)}{k}=\fbox{(k+1)^2\left(\frac{T}{k^2}+Q\right)}[/tex]
Сега имаме, че [tex]\frac{AM}{MC}=k=\frac{S_{AMN}}{S_{MNC}}=\frac{T+\frac{T}{k}}{\frac{T}{k}+kQ}\Right T+\frac{T}{k}=T+k^2Q\Right \fbox{\frac{T}{k^2}=kQ}[/tex]

Сега се връщаме в търсеното:
[tex]S_{ABC}=(k+1)^2(kQ+Q)=Q(k+1)^3=Q\left(\sqrt[3]{\frac{T}{Q}}+1\right)^3=Q\frac{(\sqrt[3]T+\sqrt[3] Q)^3}{Q}=(\sqrt[3] T+\sqrt[3] Q)^3[/tex]