Проблем с Ирационално уравнение...

[eggy]

Здравейте,
въпросното уравнение е:

[Реклама]

[Tony_89]

SQRT(x + 2 + 2*SQRT(x + 1)) + SQRT(x + 2 - 2*SQRT(x + 1)) = 2

SQRT(x + 1 + 2*SQRT(x + 1) + 1) + SQRT(x + 1 - 2*SQRT(x + 1) + 1) = 2

SQRT((SQRT(x + 1) + 1)²) + SQRT((SQRT(x + 1) - 1)²) = 2

Нека SQRT(x + 1) = u ≥ 0

SQRT((u + 1)²) + SQRT((u - 1)²) = 2

|u + 1| + |u - 1| = 2

I случай: u E [0 ; 1)

u + 1 - (u - 1) = 2

u + 1 - u + 1 = 2

0*u = 0 =>

|всяко u е решение
|u E [0 ; 1) =>

=> u E [0 ; 1)

II случай: u E [1 ; +∞)

u + 1 + u - 1 = 2
u = 1 E [1 ; +∞) =>

=> u = 1 е решение

u E I случай U II случай =>

=> u E [0 ; 1) U {1} =>

=> u E [0 ; 1]

SQRT(x + 1) E [0 ; 1]

SQRT(x + 1) ≤ 1

(SQRT(x + 1))² ≤ (1)²

x + 1 ≤ 1

x ≤ 0 , но от SQRT(x + 1) имаме:

x + 1 ≥ 0

|x ≥ - 1
|x ≤ 0 =>

=> x E [-1 ; 0]

[eggy]

Пич, мерси за задачата. Очевидно така става. Но това уравнение може да се реши и без полагане. Въпроса ми е - защо е нужно да се полага, след като и без да полагам получавам Х-ове? И как ще бъде решението без полагане?

[Tony_89]

Да де, може и без полагане

Стигаме направо до тоя ред:

SQRT((SQRT(x + 1) + 1)²) + SQRT((SQRT(x + 1) - 1)²) = 2

|SQRT(x + 1) + 1| + |SQRT(x + 1) - 1| = 2

I случай: SQRT(x + 1) E [0 ; 1)

SQRT(x + 1) + 1 - (SQRT(x + 1) - 1) = 2

SQRT(x + 1) + 1 - SQRT(x + 1) + 1 = 2

0*SQRT(x + 1) = 0 =>

|всяко SQRT(x + 1) е решение
|SQRT(x + 1) E [0 ; 1) =>

=> SQRT(x + 1) E [0 ; 1)

SQRT(x + 1) < 1

(SQRT(x + 1))² < (1)²

x + 1 < 1

|x < 0
|x + 1 ≥ 0

|x < 0
|x ≥ -1 =>

=> x E [-1 ; 0)

II случай: SQRT(x + 1) E [1 ; +∞)

SQRT(x + 1) + 1 + SQRT(x + 1) - 1 = 2

SQRT(x + 1) = 1 E [1 ; +∞) =>

=> SQRT(x + 1) = 1 е решение

(SQRT(x + 1))² = (1)²

x + 1 = 1

x = 0

x E I случай U II случай =>

=> x E [-1 ; 0) U {0} =>

=> x E [-1 ; 0]

[eggy]

Мерси