Точен квадрат

[ганка симеонова]

При кои прости числа р частното на [tex]2^{p-1}-1 [/tex] и [tex]p[/tex] е точен квадрат на рационално число?

[Реклама]

[Пафнутий]

Нека [tex]\frac{2^{p-1}-1}{p}=q^2[/tex]. Очевидно [tex]p[/tex] е нечетно,а също и [tex]q[/tex], тогава имаме:
[tex](2^{\frac{p-1}{2}}-1)(2^{\frac{p-1}{2}}+1)=pq^2[/tex]. Сега, защото [tex]p[/tex]-просто трябва да разгледаме 2 случая.
1сл: [tex]\left(\frac{2}{p}\right)=1\Leftrightarrow 2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod p)[/tex], т.е:
[tex]\begin{tabular}{|l}2^{\frac{p-1}{2}}-1=pr^2\\2^{\frac{p-1}{2}}+1=s^2 \end{tabular}[/tex], където [tex]r.s=q[/tex]. Да разгледаме второто у-ние от с-мата и да го запишем като [tex]2^x+1=s^2\Leftrightarrow 2^x=(s-1)(s+1)[/tex], откъдето [tex]s-1[/tex] и [tex]s+1[/tex] са степени на 2-ката, но това е възможно само при [tex]s=3[/tex], откъдето намираме и [tex]p=7[/tex].
2сл: [tex]\left(\frac{2}{p}\right)=-1\Leftrightarrow 2^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod p)[/tex] и аналогично ще разгледаме у-нието[tex] 2^x-1=s^2[/tex].Ако допуснем, че [tex]x\ge 3[/tex] ще достигнем до противоречие по модул 8 и като разгледаме останалите няколко случая заключаваме, че в този случай имаме единствено решение при [tex]p=3,s=1[/tex]. Окончателно, [tex]p=3,2[/tex] са единствените решения.

[martosss]

при p=3 не се ли получава 1, което е 1² ?

[Пафнутий]

Да, при проверката на втория случай (при x=1 имаме s=1).Пропуснал съм го.