Регистрирайте сеРегистрирайте се

Ойлерови интеграли


 
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ferry2
Напреднал


Регистриран на: 10 Dec 2007
Мнения: 442
Местожителство: гр.Пловдив
Репутация: 55.9
гласове: 24

МнениеПуснато на: Sun Sep 20, 2009 12:07 pm    Заглавие: Ойлерови интеграли

Гама-функция

Дефиниция:

Несобственият интеграл [tex]\Gamma (p)=\int^{+\infty}_{0}e^{-x}.x^{p-1}.dx,[/tex] който е сходящ при [tex]p>0[/tex] се нарича гама-функция (Ойлеров интеграл от първи род)
Гама-функцията е непрекъсната и притежава непрекъснати производни от произволен ред при [tex]p>0[/tex], които се намират чрез диференциране по параметъра [tex]p[/tex], т. е.

[tex]\Gamma ^{(k)}(p)=\int^{+\infty}_0x^{p-1}.\ln^kx.e^{-x}.dx, k\in \mathbb{N}[/tex]

Свойства на Гама-функцията

1. От дефиниционното равенство за гама-функция чрез интегриране по части намираме:

[tex]\Gamma (p)=\int^{+\infty}_{0}e^{-x}.x^{p-1}.dx=\frac{1}{p}\int^{+\infty}_{0}e^{-x}.dx^p=\frac{1}{p}.\lim_{x\to +\infty}x^p.e^{-x}+\int^{+\infty}_{0}e^{-x}.x^{p}.dx=\frac{1}{p}.\Gamma(p+1)\Leftrightarrow[/tex][tex]\Gamma (p+1)=p.\Gamma (p)[/tex]

Чрез неколкократно прилагане на току-що доказаното равенство получаваме:

[tex]\Gamma (x+p)=(x+p-1).(x+p-2)...(x+1)x.\Gamma (x) [/tex] [tex](1)[/tex]

Следствие 1. Ако познаваме стойностите на гама-функцията в интервала [tex](0;1)[/tex], то стойностите й за значения на аргумента, по-големи от [tex]1[/tex], се пресмятат по горната формула.

Следствие 2. При [tex]x=1[/tex] от равенство [tex](1)[/tex] получаваме:

[tex]\Gamma (p+1)=p![/tex]

Следствие 3. От последната формула при [tex]p=0[/tex] намираме

[tex]0!=\Gamma (1)=1[/tex]

Следствие 4. При [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] от формула [tex](1)[/tex] получаваме

[tex]\Gamma \left(\frac{2p+1}{1}\right)=\frac{(2p-1).(2p-3)...3.1}{2^p}.\sqrt{\pi}[/tex]


2. [tex]\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}[/tex]

Правим смяната [tex]x=t^2[/tex]

[tex]\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\int^{+\infty}_0t^{-\frac{1}{2}}.e^{-t^2}.dt=2\int ^{+\infty}_0e^{-t^2}.dt[/tex]

Да разгледаме отделно интеграла, който получихме.

[tex]J=\int^{+\infty}_0e^{-t^2}dt[/tex]

В него да направим субституцията: [tex]t=uy, dt=u.dy[/tex]


[tex]J=\int^{+\infty}_0e^{-u^2y^2}.u.dy[/tex]

Умножаваме двете страни на последното равенство с [tex]e^{-u^2}[/tex]

[tex]J.e^{-u^2}=\int^{+\infty}_0e^{-(1+y^2)u^2}.u.dy[/tex]

Интегрираме равенството по [tex]u[/tex] и получаваме

[tex]J^2=J.\int^{+\infty}_0e^{-u^2}=\int^{+\infty}_0du\int^{+\infty}_0e^{-(1+y^2)u^2}.u.dy[/tex]

Подинтегралната функция [tex]f(y,u)=e^{-(1+y^2)u^2}.u[/tex] е неотрицателна и непрекъсната при [tex]0\le y<+\infty,[/tex] [tex]0\le u<+\infty.[/tex] Вътрешния интеграл се явява непрекъсната функция на [tex]u[/tex] при [tex]0\le u<+\infty.[/tex] Изменяме реда на интегриране и получаваме повторния интеграл

[tex]\int^{+\infty}_0dy\int^{+\infty}_0e^{-(1+y^2)u^2}.u.du,[/tex]

вътрешния интеграл на, който

[tex]\int^{+\infty}_0e^{-(1+y^2)u^2}.u.du=-\frac{1}{2}\frac{e^{-(1+y^2)u^2}.u}{1+y^2}|^{+\infty}_0=\frac{1}{2}.\frac{1}{1+y^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow \int^{+\infty}_0e^{-(1+y^2)u^2}.u.du=\frac{1}{2}\int^{+\infty}_0\frac{dy}{1+y^2}=\frac{1}{2}\arctan y|^{+\infty}_0=\frac{\pi}{4}[/tex]

Следователно

[tex]J=\int^{+\infty}_0e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\Rightarrow 2\int^{+\infty}_0e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}[/tex]

Бета-функция

Дефиниция:

Интегралът [tex]B (p,q)=\int ^1_0x^{p-1}(1-x)^{q-1}.dx=\int^{+\infty}_0\frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}}.dx,[/tex]

който е сходящ при [tex]p>0,q>0[/tex], се нарича бета-функция (Ойлеров интеграл от втори род)

Бета-функцията е непрекъсната в областта [tex]D=\left\{(p,q)\in \mathbb{R}^2:p>0,q>0\right\}[/tex] и притежава непрекъснати частни производни спрямо [tex]p,q[/tex] от произволен ред, които се намират чрез диференциране на интеграла по съответния параметър.

Връзка между бета и гама-функцията

[tex]B(p,q)=\frac{\Gamma (p).\Gamma (q)}{\Gamma(p+q)}[/tex]

Основни свойства на бета-функцията

1. При [tex]p>0,q>0[/tex]

[tex]\fbox{B(p,q)=B(q,p)}[/tex]

2. Ако [tex]p>1,q>0[/tex], то

[tex]B(p,q)=\frac{p-1}{p+q-1}.B(p-1,q)[/tex]

3. Ако [tex]p>0, q>1,[/tex] то

[tex]B(p,q)=\frac{q-1}{p+q-1}.B(p,q-1)[/tex]

4. Ако [tex]m,n\in \mathbb{N},[/tex] то

[tex]B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.