Уравнение с два параметъра

[ганка симеонова]

Да се реши уравнението

[tex]x^4+2ax^3+(2a^2-b)x^2-2abx-a^2b=0 [/tex], ако [tex]a\ne 0 [/tex]

[Реклама]

[Natali lubitel]

Преобразуваме уравнението във вида :[tex]x^4+2ax^2(x+a)-b(x+a)^2=0[/tex]
[tex](x^2)^2+2ax^2(x+a)-b(x+a)^2=0[/tex](1)
1.сл. При b=0 има решение x=0 Може да се докаже,че уравнението има решение само при [tex]b\ge 0[/tex] . Например така :преобразуваме уравнението във вида
[tex] x^2(x^2+2ax+2a^2) -b( x+a)^2=0[/tex] или още във вида [tex] x^2[(x+a)^2+a^2]=b(x+a)^2[/tex] откъдето [tex] x^2=\frac{b(x+a)^2}{(x+a)^2+a^2 } [/tex]
2.сл. b>0 проверява се че уравнението има решение x=0 при а=0 което противоречи на условието. Следователно b[tex]\ne 0[/tex]. Делим двете страни на уравнението (1) на
[tex] x^4[/tex] и то добива вида
[tex] 1 +2a\frac{x+a}{ x^2}-(\frac{x+a}{ x^2})^2=0[/tex] . Да означим t=[tex]\frac{x+a}{ x^2} [/tex]. Получаваме квадратното уравнение [tex] t^2-2at-1=0 ; D=a^2+1>0 [/tex] за всяко а реално число. Следователно квадратното уравнение има винаги два различни реални корена [tex] t_{1}[/tex] и [tex] t_{2}[/tex] . Даденото уравнение е еквивалентно на [tex] \frac{x+a}{ x^2}=t_{1}\cup \frac{x+a}{ x^2}=t_{2}[/tex] или [tex]t_{!}x^2-x-a=0\cup t_{2}x^2-x-a=0[/tex]. Това обединение няма да има решение ,ако двете дискриминанти на получените кв. уравнения едновременно са отрицателн. Нека дискриминантите са [tex]D_{1}[/tex] и [tex]D_{2}[/tex]
[tex]D_{1}=1+4at_{1} D_{2}=1+4at_{2}[/tex]. Следователно двете дискриминанти едновременно са отрицателни ,ако [tex]t_{1}<-\frac{1}{4a }[/tex] и [tex]t_{2}<-\frac{1}{4a } [/tex] . Тук задачата става за съответното разположение на корените на кв. тричлен спрямо[tex]-\frac{1}{4a }[/tex]и то по -малки от това число. Така се получава ,че уравнението няма решение при b<0 или при [tex] a\in (-\frac{1}{ \sqrt{24} } ,0)[/tex]
PS Как е заглавието на сборника на Делев ?

[ганка симеонова]

Чудесно Натали, но някъде при делението изпускаш b.

[Natali lubitel]

Да изпуснала съм b.Квадратното уравнение за t добива вида [tex]bt^2-2at-1=0 D=a^2+b>0[/tex] за всяко а реално и b>0. По нататък уравнението няма решение или ако b<0 ( вече писах обяснение защо) или [tex]b>24a^2\cap a<0[/tex].

PS Пак имам питането за кой сборник ставаше въпрос при задачата за разположение на корените на кв. уравнения?

[ганка симеонова]

[Natali lubitel]

Допълнение към решението и извинение за технически грешки.
Квадратното уравнение към което се свежда решението на даденото е:
[tex]bt^2-2at-1=0[/tex] (2)с корени [tex] t=a\pm \sqrt{a^2+b}[/tex].
Така при b>0 ще имаме две различни решения за t и от там първоначалното
уравнение е еквивалентно на обединението на две квадратни уравнения ( записани са по-горе) . Двете уравнения няма да имат реални корени при a<0 и [tex]b>8a^2[/tex].
Ако [tex] -\frac{1}{4a }[/tex] e между корените на (2) , първоначалното уравнение ще има 2 реални корена. Това е изпълнено за [tex]a\ne 0\cap b\in (0,8a^2)[/tex].
[tex] x=\frac{1+\sqrt{1+4at_{2}} }{2t_{2} }[/tex] и [tex]t_{2}=a+\sqrt{a^2+b}[/tex].
Ако a>0 и [tex]b>8a^2 [/tex] ,то [tex]x=\frac{1\pm \sqrt{1+4at_{1}} }{ 2t_{1}}\cup x=\frac{1\pm \sqrt{1+4at_{2}} }{2t_{2} }[/tex] , където [tex] t_{1,2}=a\pm \sqrt{a^2+b}[/tex]