У-1978 ( от Коларов)

[martosss]

Дадени са квадратните уравнения
[tex]x^2-2kx+4=0[/tex] и [tex]y^2-2(k-1)y+4=0[/tex], където [tex]k[/tex] е реално число.
Ако [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са корени на първото уравнение, а [tex]y_1[/tex] и [tex]y_2[/tex] са корените на второто, за кои стойности на [tex]k[/tex] са изпълнени неравенствата [tex]x_1<y_1<y_2<x_2[/tex]?

[Реклама]

[Natali lubitel]

Нека f(x)=[tex]x^2-2kx+4[/tex] и g(x)=[tex]x^2-2(k-1)x+4[/tex] .Корените на f(x) и
g(x) са реални и различни ,ако дисриминантите им едновременно са положителни. Това е изпълнено за k[tex]\in (-\infty ,-2)\cup (3,+\infty )[/tex].
[tex] x_{1} <y_{1}<y_{2}<x_{2}[/tex] ,ако [tex] g(x_{1})>0\cap g(x_{2})>0\cap x_{1}<k-1<x_{2}[/tex] Първото от трите неравенства е [tex] x_{1}^2-2(k-1)x_{1}+4>0[/tex]
[tex]x_{1}^2-2kx_{1}+2x_{1}+4>0[/tex] . То е изпълнено при [tex] x_{1}>0[/tex] ,защото
[tex]x_{1}^2-2kx_{1}+4=0[/tex]. Аналогично второто неравенство е изпълнено при
[tex] x_{2}>0[/tex] и [tex] x_{1}<k-1<x_{2}[/tex] ,ако f(k-1)<0 т.е. ако [tex] k\in (-\infty ,-\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5},+\infty )[/tex]. Двата корена на първото уравнение са положителни при k>0 ( от теорема на Виет).
Всички тези условия са изпълнени при k[tex]\in (3,+\infty )[/tex].

[ганка симеонова]

Март, в сборника на Делев, който имаш е решена също такава задача
Разгледай я. Иначе решението на Натали си е вярно.

[martosss]

Много добре, а за третото може да използваш, че к-1 трябва да е между [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex], тоест е достатъчно да е изпълнено [tex]f(k-1)<0[/tex]
Иначе точно това решение е най-доброто - с f(x) и g(y), където g(x)=f(y)+2y.
Тогава корените на g(y) трябва да са между числата х1 и х2, тоест за тях трябва да е изпълнено

[tex]\begin{tabular}{|1}g(x_1)>0\\g(x_2)>0\\x_1<k-1<x_2\end{tabular}[/tex]
Сега последното, както казах, е еквивалентно на [tex]f(k-1)<0[/tex], с което задачата се решава сравнително бързичко.

[_sssss]

Забелязваме, че върховете са с разстояние 1 и използваме отсечките.
[tex]\normal |x_1 - x_2| - |y_1 - y_2|>2[/tex]
[tex]\normal \sqrt{D_1} - \sqrt{D_2}>2[/tex]
Може би ще трябва и [tex]\normal f(k-1)<0[/tex].

А това, достатъчно ли е?
[tex]\normal g(y)=f(y) + 2y \\ f(y)<0 \Leftrightarrow 2y>0 \\ y_1 + y_2>0[/tex]