Интересна задача

[DevilFighter]

Страните на триъгълник ABC образуват аритметична прогресия. Да се докаже, че мерките на 2ва от ъглите му са по - малки от 60°

[Реклама]

[Tony_89]

Нека c > a > b и съответно γ > α > β

Очевидно ъглите α и β са остри

Страните образуват аритметична прогресия =>

=> c = a + d = b + 2*d

b² = a² + c² - 2*a*c*cos(β)

b² = (b + d)² + (b + 2*d)² - 2*(b + d)*(b + 2*d)*cos(β)

2*(b + d)*(b + 2*d)*cos(β) = b² + 6*b*d + 5*d²

2*(b + d)*(b + 2*d)*cos(β) = = (b + d)*(b + 5*d)

cos(β) = (b + 5*d)/(2*(b + 2*d)) = (b + 2*d + 3*d)/(2*(b + 2*d)) = 1/2 + (3*d)/(2*(b + 2*d))

(3*d)/(2*(b + 2*d)) > 0 =>

=> cos(β) > 1/2

β Е (0 ; 90°) =>
|cos(β) E (0;1)
|cos(β) > 1/2 =>

=> cos(β) E (1/2 ; 1) =>

=> β E (0 ; 60°)

a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α)

(b + d)² = b² + (b + 2*d)² - 2*b*(b + 2*d)*cos(α)

2*b*(b + 2*d)*cos(α) = b² + 2*b*d + 3*d²

cos(α) = (b*(b + 2*d) + 3*d²)/(2*b*(b + 2*d)) = 1/2 + (3*d²)/(2*b*(b + 2*d))

(3*d²)/(2*b*(b + 2*d)) > 0 =>

=> cos(α) > 1/2

α Е (0 ; 90°) =>
|cos(α) E (0;1)
|cos(α) > 1/2 =>

=> cos(α) E (1/2 ; 1) =>

=> α E (0 ; 60°)

P.S. Ако искаш да си съвсем коректен си докажи, че:

|(3*d)/(2*(b + 2*d)) E (0 ; 1/2)
|(3*d²)/(2*b*(b + 2*d)) E (0 ; 1/2)

което е нужно заради:

cos(β) = 1/2 + (3*d)/(2*(b + 2*d))

cos(α) = 1/2 + (3*d²)/(2*b*(b + 2*d))

[DevilFighter]

Tony_89 Благодаря ти, много ми помогна !

[r2d2]

Нека a=(b+c)/2, ще докажем че ъгъл А<60. Допускаме, че А>=60 тогава cosA<=1/2. cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc като заместим а с (b+c)/2 получаваме cosA=(3b^2+3c^2-2bc)/8bc<=1/2 или 3(b-c)^2<=0, което е възможно само при b=c=a (това, обаче не е аритметична прогресия).
Полученото противоречие се дължи на допускането. Понеже една от b и с е по-малка от а, един от ъглите B или C e по-малък от А<60.