Интеграли на Фурие

[ObsCure]

Интегралите

[tex]1)C_{m,n}=\int_{-\pi}^{\pi}cosmxcosnxdx[/tex]

[tex]2)S_{m,n}=\int_{-\pi}^{\pi}sinmxsinnxdx[/tex]

[tex]3)T_{m,n}=\int_{-\pi}^{\pi}sinmxcosnxdx[/tex]

където [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex] са естествени числа или нула се наричат интеграли на Фурие(Fourier).Преди да пристъпим към разглеждането им ще докажем едно добре известно свойство

Свойство:Ако [tex]f(x)[/tex] e четна интегрируема ф-я в интервала [tex][-a,a][/tex],то

[tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]

а ако [tex]f(x)[/tex] е нечетна

[tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=0[/tex]

Доказателство:

[tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]

В интеграла

[tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx[/tex]

полагаме

[tex]x=-t => \int_{-a}^{0}f(x)dx=-\int_{a}^{0}f(-t)dt[/tex]

т.е.

[tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(-x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}[f(x)+f(-x)][/tex]

Съответно,при четна и нечетна [tex]f(x)[/tex] за сумата в скобите получаваме [tex]2f(x)[/tex] и [tex]0[/tex].Следователно

[tex]T_{m,n}=0[/tex]

при всяко значение на [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex],тъй като [tex]sinmxcosnx[/tex] е нечетна в [tex][-\pi,\pi][/tex].

При

[tex]m=n=0[/tex]

имаме

[tex]C_{0,0}=2\pi[/tex]

и

[tex]S_{0,0}=0[/tex]

И така

[tex]C_{m,n}=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}cos(m+n)xdx+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}cos(m-n)xdx[/tex]

Горното се доказва чрез тригонометричното равенство

[tex]cosmxcosnx=\frac{1}{2}[cos(m+n)x+cos(m-n)x][/tex]

Нека обобщим

[tex]C_{m,n}=0,\pi,2\pi[/tex] съответно за [tex]m(\ne)n,m=n\ne0,m=n=0.[/tex]

[tex]S_{m,n}=0,\pi,0[/tex] съответно при [tex]m(\ne)n,m=n\ne0,m=n=0[/tex].

Числата [tex]a_{n}[/tex] и [tex]b_{n}[/tex],дефинирани с изразите

[tex]a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx[/tex]

[tex]b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx[/tex]

се наричат фуриерови коефициенти на [tex]f(x)[/tex] в [tex][-\pi,\pi][/tex].

Ако [tex]f(x)[/tex] е нечетна,всички [tex]a_{n}[/tex] са равни на нула,а

[tex]b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)sinnxdx[/tex]

а при [tex]f(x)[/tex] четна,то всички [tex]b_{n}[/tex] са равни на нула,и

[tex]a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)cosnxdx[/tex].

Пример:

Фуриеровите коефициенти на [tex]x[/tex] и [tex]x^{2}[/tex] са съответно

[tex]b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}xsinnxdx=\frac{2}{n}(-1)^{n+1}[/tex] ([tex]a_{n}=0[/tex])

[tex]a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}cosnxdx=\frac{4}{n^{2}}(-1)^{n} (b_{n}=0[/tex])

P.S.Finally! Интеграли на Валис coming soon.

[Реклама]