Регистрирайте сеРегистрирайте се

Свойства на еквивалентните функции


 
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ferry2
Напреднал


Регистриран на: 10 Dec 2007
Мнения: 442
Местожителство: гр.Пловдив
Репутация: 55.9
гласове: 24

МнениеПуснато на: Wed Sep 16, 2009 6:59 pm    Заглавие: Свойства на еквивалентните функции

Дефиниция: [tex]f(x)\sim g(x)[/tex] при [tex]x\to x_0[/tex] ако [tex]\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1[/tex]

Дефиниция: Нека [tex]\alpha (x)[/tex] и [tex]\beta (x)[/tex] са безкрайно малки функции при [tex]x\to x_0[/tex], тогава:

[tex]\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\left\{\begin{array}{rrrr} C, C-const, 0<|C|<+\infty , \text{ казваме, че }\alpha (x) \text{ и } \beta (x) \text{ са от един и същ порядък} \\ 0, \text{ то } \alpha (x) \text{ е по-малка функция от по-висок порядък от} \beta (x) \\ \infty, \text{ то } \alpha (x) \text{ е безкрай по-малка функция от по-нисък порядък от} \beta (x) \\ \cancel{\exists} \Rightarrow \alpha (x) \text{ и } \beta (x) \text{ са несравними} \\ \end{array}\right.[/tex]

Свойства на еквивалентните функции

[tex]1.[/tex][tex] \alpha (x)\sim \beta (x), \beta (x)\sim \gamma (x) \Rightarrow \alpha (x)\sim \gamma (x) \cyr{ pri } x\to x_0[/tex]

[tex]2.[/tex][tex] \alpha (x)\sim \alpha_1 (x) \text{ при }x\to x_0 \cyr{ i }[/tex] [tex]\beta (x)\sim \beta_1 (x) \text{ при } x\to x_0 \Rightarrow \lim_{x\to x_0}\alpha (x).\beta (x)=\lim_{x\to x_0}\alpha_1 (x).\beta_1 (x)[/tex]

[tex]3.[/tex]Алгебричен сбор на безкрайно малки функции от различен порядък е еквивалентен на безкрайно малка функция с най-нисък порядък.

Таблични еквивалентности

[tex]1. [/tex][tex]\sin \alpha (x)\sim \alpha (x) \cyr{ pri } x\to x_0 [/tex]
[tex]\sin x\sim x \cyr{ pri } x\to 0[/tex]

[tex]2.[/tex][tex] \tan \alpha (x)\sim \alpha (x)\text{ при } x\to x_0[/tex]
[tex]\tan x\sim x \cyr{ pri }x\to 0[/tex]

[tex]3.[/tex][tex] \arcsin \alpha (x)\sim \alpha (x)\text{ при } x\to x_0[/tex]
[tex]\arcsin x\sim x \cyr{ pri } x\to 0[/tex]

[tex]4.[/tex][tex] \arctan \alpha (x)\sim \alpha (x) \text{ при } x\to x_0 [/tex]
[tex]\arctan x\sim x \cyr{ pri } x\to 0[/tex]

[tex]5.[/tex][tex] 1-\cos \alpha(x)\sim \frac{1}{2}[\alpha (x)]^2 \cyr{ pri } x\to x_0[/tex]
[tex]1-\cos x\sim x^2 \cyr{ pri } x\to 0[/tex]

[tex]6.[/tex][tex] a^{\alpha (x)}-1\sim \alpha (x).\ln a \cyr{ pri } x\to x_0[/tex]
[tex]a^x-1\sim x.\ln a \cyr{ pri } x\to 0[/tex]

[tex]7.[/tex][tex] e^{\alpha (x)}-1\sim \alpha (x) \text{ при } x\to x_0[/tex]
[tex]e^x-1\sim x\cyr{ pri } x\to 0[/tex]

[tex]8.[/tex][tex] \ln \alpha (x)-1\sim \alpha (x) \text{ при } x\to x_0[/tex]
[tex]\ln(1+x)\sim x \text{ при } x\to 0[/tex]
[tex]\ln x\sim x-1 \text{ при } x\to 1[/tex]

[tex]9.[/tex][tex] (1+\alpha (x))^p-1\sim p.\alpha (x) \text{ при } x\to x_0[/tex]
[tex](1+x)^p-1\sim px \text{ при } x\to 0[/tex]

[tex]10.[/tex][tex] \sqrt[n]{1+\alpha (x)}-1\sim \frac{1}{n}\alpha (x) \text{ при } x\to x_0[/tex]

[tex]11.[/tex][tex] P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0\sim a_nx^n \text{ при } x\to \pm \infty[/tex]

Основни граници

[tex]1.[/tex][tex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x }=1 [/tex]

[tex]2. [/tex][tex]\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x }=1[/tex]

[tex]3. [/tex][tex]\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x }=1[/tex]

[tex]4. [/tex][tex]\lim_{x\to 0}\frac{arctan x}{x }=1[/tex]

[tex]5.[/tex][tex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2 }=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]6. [/tex][tex]\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x }=\ln a[/tex]

[tex]7. [/tex][tex]\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x }=1[/tex]

[tex]8.[/tex][tex]\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{1}{x }\right)=e[/tex]

[tex]9.[/tex][tex]\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^p-1}{x }=p[/tex]

[tex]10.[/tex][tex]\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x }=\frac{1}{n}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.