Равнобедрен триъгълник

estoyanovvd

Даден е триъгълник [tex]ABC[/tex] и [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са от страната [tex]AB[/tex], като [tex]\angle ACM = \angle BCN [/tex]. Докажете, че ако радиусите на

а) описаните около триъгълниците [tex]ACM[/tex]и [tex]BCN[/tex]

б) вписаните в триъгълниците [tex]ACM[/tex]и [tex]BCN[/tex]

окръжности са равни, то триъгълникът [tex]ABC[/tex] е равнобедрен.

Реклама

ins- · Пуснато на: Wed Sep 16, 2009 8:30 pm Заглавие:

а) е лесна. навремето почти я бях измислил ... използва се Синусова теорема и може да се докаже, че отсечките срещу ъглите са равни. От там може със:
- Синусова теорема и подобни триъгълници; или
- Описана окръжност около ABC и еднакви триъгълници
да се докаже , че ABC е равнобедрен.
b) - предполагам, че с тригонометрия ще излезе, но не ми се мисли в момента.

estoyanovvd · Пуснато на: Wed Sep 16, 2009 8:38 pm Заглавие:

Ами задачките не са трудни, но са приятни! Laughing

Аз си ги измислих, но ми се струва, че би могло и да ги има някъде. Нивото на а) е като за класно в осми клас, а на б) в десети. Става въпрос за математическа гимназия! Laughing

ганка симеонова · Пуснато на: Wed Sep 16, 2009 8:54 pm Заглавие:

ганка симеонова · Пуснато на: Wed Sep 16, 2009 8:59 pm Заглавие:

Хей, Стоянов, честита нова учебна година.

estoyanovvd · Пуснато на: Wed Sep 16, 2009 9:06 pm Заглавие:

изтрито

_sssss · Пуснато на: Wed Sep 16, 2009 9:10 pm Заглавие:

Боже, чак аз се изчервих! Embarassed

estoyanovvd · Пуснато на: Mon Sep 21, 2009 5:19 pm Заглавие:

Да не би да ви затруднява буква б) ?! Няма ли някой да я реши? Sad

martosss · Пуснато на: Mon Sep 21, 2009 6:06 pm Заглавие:

Тази задача бях забравил, че остана нерешена, ще я мислим. Wink

martosss · Пуснато на: Mon Sep 21, 2009 6:23 pm Заглавие:

По условие [tex]\angle ACM=\angle BCN=\alp[/tex],
Нека построим ъглополовящатa [tex]CL[/tex] на [tex]\angle MCN[/tex] и тя пресича [tex]OO_1[/tex] в точка [tex]K[/tex]([tex]O[/tex] и [tex]O_1[/tex] са центрове на вписаните съответно в [tex]\Del AMC[/tex] и [tex]\Del BNC[/tex] окръжности.) и нека [tex]\angle OCO_1=\be[/tex]
Тогава [tex]\angle KCA=\angle KCB=\alp+\frac{\be}{2}[/tex].
Освен това [tex]OC=O_1C=r\sin\alp[/tex], откъдето [tex]\Del OO_1C-[/tex] равнобедрен. Тогава понеже [tex]\angle KCO=\angle KCO_1[/tex], то [tex]CK[/tex] е височина [tex]\Right CK\bot OO_1[/tex], но ако ОН и О1Т са разстоянията от О и О1 до АВ, то [tex]OO1TH[/tex] е правоъгълник => [tex]OO_1||AB\Right CK\bot AB[/tex]. Сега [tex]CK[/tex] се явява едновременно височина и ъглополовяща в [tex]\Del ABC[/tex], оттук триъгълникът е равнобедрен.

Тук съм разгледал случая, когато разположението на точките е А, М, N, В, аналогичен е и другият случай, когато позициите на точките М и N са разменени.
Сега всичко ОК ли е? Smile