Лесна задача с параметър

[_sssss]

[tex]x^2 - (a+1)x + a \, \le \, 0[/tex]
При кои стойности на параметъра [tex]a[/tex], решението на неравенството не съдържа нито един от членовете на редицата.
[tex]\frac{3n}{2n-1}[/tex], [tex]n\in N[/tex]

[Реклама]

[naitsirk]

[tex]a\in (-\infty ;1)\cup [\frac{3}{2 };+\infty ) [/tex] ?

[_sssss]

Като заместим с [tex]a=3[/tex], например:
[tex]a=3, \; x\in[1;3][/tex] - тук имаме доста, направо всички членове.

[naitsirk]

ох извинявам се,май си видях грешката.
Новият ми отговор е:
[tex]a\in (-\infty ;1)\cup \{ \frac{3}{2 } \}[/tex]

Дано този път да няма грешки....

[_sssss]

Аз получавам [tex]a\in(-\infty; \frac{3}{2}\] / \{1\}[/tex].
Може и да бъркам, напиши решение.

Edit: мда, на единицата не и е тук мястото.

[r2d2]

Seppen, oтговорът ти е почти верен!

[naitsirk]

ето моето решение:

От условието следва, че като заместим [tex]x[/tex] с [tex]\frac{3n}{2n-1 } [/tex] неравенството не трябва да се изпълнява за никое [tex]n\in N[/tex]. Заместваме, умножаваме по [tex](2n-1)^2>0[/tex] и след групиране получаваме еквивалентно неравентво: [tex](3-2a)n^2+(3-a)n+a\le 0[/tex] и искаме нито едно естествено число да не го удовлетворява.

I сл. [tex]a=\frac{3}{2 } [/tex] - удовлетворява исканото.
II сл. [tex]a\ne \frac{3}{2 } [/tex]
Очевидно трябва [tex]a<\frac{3}{2 } [/tex], защото ако [tex]a>\frac{3}{2 } [/tex] решенията на неравенството са безкрайни интервали, които съдържат естествени числа.
[tex]D=(3a-3)^2[/tex]
[tex]D=0=>a=1[/tex] -> [tex]n_1=n_2=-1[/tex] и неравенството е изпълненоза това [tex]n[/tex], но [tex]-1\notin N[/tex] => [tex]a=1[/tex] е решение на задачата.
[tex]D>0=>a\ne 1[/tex] -> [tex]n_1=-1[/tex], [tex]n_2=\frac{3-a}{2a-3 } [/tex]. Трябва [tex]\frac{3-a}{2a-3 }<1 [/tex] => [tex]a\in(-\infty ;\frac{3}{2 } )\cup (3;+\infty ) [/tex] и засечено с интервала в който работим [tex]a<\frac{3}{2 },a\ne 1 [/tex] имаме [tex]a\in (-\infty ;1)\cup (1;\frac{3}{2 } )[/tex].

Обединявайки интервалите от всички случаи получаваме:
[tex]a\in (-\infty ;\frac{3}{2 }\] [/tex]

[_sssss]

Може и така, предполагам:

[tex]\normal \begin{tabular}{||} f\(\frac{3}{2}\) \ge 0 \\ \frac{a+1}{2}<\frac{3}{2} \end{tabular}[/tex] [tex]\cup \; \begin{tabular}{||} f(3) > 0 \\ \frac{a+1}{2}>3 \end{tabular}[/tex]

Има възможност интервалът на решението да е м/у 2 съседни члена:

[tex]\normal \begin{tabular}{||}g(k+1)<\frac{a+1}{2}<g(k) \\ f[g(k)]>0 \\ f[g(k+1)]>0 \end{tabular}[/tex][tex]\Leftrightarrow \begin{tabular}{||} \small 2g(k+1)-1 \normal < a < \small 2g(k)-1 \normal \\ a<g(k)\\ a<g(k+1)\end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow a\in \emptyset[/tex]

Остава само решението от първата система [tex]a\in(-\infty ; \, \frac{3}{2}\][/tex]
Но твоето определено е по-"яко".

[naitsirk]

Сетих се още по лесен начин.

Решенията на неравенството са [tex](1;a)[/tex] или [tex](a;1)[/tex] в зависимост от стойността на [tex]a[/tex]. Лесно установяваме, че всички членове на редицата са по-големи от [tex]\frac{3}{2 } [/tex] => за да изпълнено условието на задачата трябва [tex]a\le \frac{3}{2 } [/tex].

[_sssss]

Е, да. В стремежа си да направя D>0, взех та направих точен квадрат... Идеята беше да се разпише общия случай, това е малък дефект в условието. Прави се, че не забелязваш!

[naitsirk]

Ехааа... задачата ти ли си я съставила... Евалата

[Natali lubitel]

Друго решение: Дискриминантата на квадратния тричлен е точен квадрат. Когата тя е нула,а това е ,ако а е 1 , единствен корен на неравенството е също 1 . Той е по-малък от границата на дадената редица3/2. Затова а равна на 1 е решение на задачата.
Дадената редица е монотонно намаляваща и сходяща. Следователно нейните членове са по-голями или равни на 3/2. Проверява се че няма член равен на 3/2.
Ако а е различно от едно ,тогава решенията на неравенството са в затворения интервал определен от корените на кв. тричлен - а и 1. И в двата случая a<1 и
a>1 до 3/2 включително , интервала от решения на неравенството не съдържа членове на редицата. Отговор всички стойности на а по- малки или равни на 3/2.