Задача с аркустангенс с която явно не мога да се справя.

[Matik]

Здравейте първо! За първи път пиша в този форум (туко що се регистрирах), но съм го разглеждал преди и има доста неща, които научих именно от тук. Надявам се някой да ми помогне със задачата понеже в учебника ми я няма решена... Опитвам се продължа напред с материала но постоянно се сещам за тази задача и "мистерията" ме мъчи. Ако някой може да я реши и има желание да ми напише решението ще съм му много благодарен!
А тя е следното:
Да се докаже уравнението:
arctg[tex]\frac{1}{2}[/tex] +arctg[tex]\frac{1}{5}[/tex] +arctg[tex]\frac{1}{8}[/tex] =[tex]\frac{pi}{4} [/tex]

[Реклама]

[r2d2]

Имаш ли познания за комплексни числа?

[Добромир Глухаров]

Matik, опитай да намериш [tex]tg[/tex] от лявата и дясната страна, използвайки, че [tex]tg(\alpha +\beta )=\frac{tg(\alpha )+tg(\beta )}{1-tg(\alpha )tg(\beta ) }[/tex]

[Matik]

z=a+ib и формулите заедно с това... за това ли става дума?

ще се пробвам това с тази формула въпреки че не знам как ще ми помогне...

[Добромир Глухаров]

[r2d2]

Комплексното число [tex]z=a+ib[/tex] може да бъде представено и във вида[tex] z=r(\cos \phi + i\sin \phi)[/tex], където числото [tex]r=\sqrt{a^+b^2}[/tex] наричаме модул на z, a [tex]\phi [/tex] е ъгъла от [tex][0;2\pi)[/tex], който насочената отсечка представяща даденото число в комплесната равнина, сключва с реалната права. [tex]\phi [/tex]наричаме аргумент на числото z - arg z. За числата с положителна реална и имагинерна част имаме [tex]arg z = arctg \frac {b}{a}[/tex].

В сила е следното равенство [tex]arg (z_1z_2\cdots z_n) = arg z_1+arg z_2 + \cdots + arg z_n[/tex].
[tex]arg(2+i) = arctg \frac {1}{2}, \; arg(5+i) = arctg \frac {1}{5},\; arg (8+i)= arctg \frac {1}{8}[/tex]

Пресмятаме [tex](2+i)(5+i)(8+i)=(9+7i)(8+i)=65+65i[/tex]
[tex]arg (65+65i) = \frac {\pi}{4}.[/tex]

Eто ти по-сложна задача [tex]arctg \frac {1}{2} + arctg \frac {1}{8} + arctg \frac {1}{18} +\cdots +arctg \frac {1}{2n^2}.[/tex]

Разбира се, тези задачи могат да се решават и по начина на Добромир Глухаров. Просто на мен така по ми харесва.

[Matik]

[_sssss]

Matik, виж по-нагоре, Добромир Глухаров е написал формулата.
[tex]\normal tg(\alpha + \beta)=\frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}}=\frac{7}{9}[/tex]

[tex]\normal tg(\alpha + \beta + \gamma)=\frac{\frac{7}{9} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{7}{9} \cdot \frac{1}{8}}=1=tg(45^\circ )[/tex]

[Matik]

Да... вече ми стана ясно. Благодаря!