Тема 1

[ганка симеонова]

1) Да се докаже, че ако 15 прости числа образуват аритметична прогресия, то разликата и е по- голяма от 30 000.

2) Да се докажат неравенствата

a) [tex]n!<(\frac{n}{2 })^n; n\ge 6 [/tex]

b) [tex]n!>(\frac{n}{3 })^n; n\ge 1 [/tex]

3)На продълженията на страните[tex] AB,BC,CD,DA [/tex] на изпъкнал четириъгълник [tex] ABCD [/tex] са нанесени в една посока съответно отсечките [tex] BM=AB,CN=BC,DP=CD,AQ=DA [/tex]
Ако [tex]S_{ABCD}=S[/tex], да се намери [tex]S_{MNPQ} [/tex]

4) В тетраедъра [tex]UABC [/tex] точките М и L са среди съответно на UA и ВС.Да се докаже, че всяка равнина през М и L разделя тетраедъра на две равнообемни тела.

[Реклама]

[naitsirk]

на 2-ра задача по индукция лесно можем да докажем, че неравенствата са еквивалентни на:
[tex]2<(1+\frac{1}{n } )^n<3[/tex] които също лесно се доказват по индукция.

За 3-та задача забелязваме, че [tex]S_{PDQ}=2S_{DAC}[/tex], [tex]S_{MBN}=2S_{ABC}[/tex]. Сега имаме, че [tex]S_{PDQ}+S_{MBN}=2(S_{DAC}+S_{ABC})=2S[/tex].
Аналогично [tex]S_{PCN}+S_{QAM}=2S[/tex]. Събирайки всички лица получаваме, че [tex]S_{MNPQ}=5S[/tex]

[NoThanks]

На 2ра за най-кратко може направо да се ползва апроксимацията на Стирлинг: http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation b) следва непосредствено, а а) предполагам ще излезе с неравенството на Бернули
Едит: а) всъщност май не излиза с Бернули, но б) си стои.

[ubuntu]

4) е доста приятна задача и не особено трудна (от аналитична гледна точка).Ето едно решение , което знам :
[tex]\pi [/tex] е равнина през [tex]M,L[/tex] , която пресича срещуположните ръбове [tex]UC,AB[/tex] съответно в [tex]P,K[/tex], и е изпълнено [tex] \vec{BK}=\alpha \vec{BA},\vec{CP}=\beta \vec{CU} [/tex] при [tex]\alpha \le 1,\beta \le 1[/tex].Ясно е , че [tex]\vec{LK},\vec{LP},\vec{LM} [/tex] са линейно-зависими понеже са компланарни и е в сила [tex]a\vec{LK}+b\vec{LP}+c\vec{LM}=\vec{0} [/tex] като поне едно от [tex]a,b,c[/tex] е различно от нула.Като изразят се тези вектори чрез [tex]\vec{BA} ,\vec{CU} ,\vec{BC} [/tex] ,които пък са линейно-независими,лесно следва [tex]\alpha =\beta [/tex].Нататък би трябвало всеки да може да продължи.