Задача от изпит...Помогнете

[blonddy]

Хайде математици помагайте плс че изпита е много важен....Значи аз знам че трябва да се решава с лопитал но стигам до неопределеност 0/0 и не мога да продължа..Една колежка ми каза че нещо ставало с полагане но аз имам малко затруднения с тригонометрията за това моля помагайте.

[Реклама]

[ferry2]

[tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{\frac{\arctan x}{x^3}}=0^0=e^{\lim_{x\to 0}}\frac{\arctan x}{x^3}.\ln\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)=[/tex]

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x^3}.\ln\left(1+\frac{\arcsin x}{x}-1\right)}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x^3}.\left(\frac{\arcsin x}{x}-1\right)}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x(\arcsin x-x)}{x^4}}=[/tex]

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x-x}{x^3}}=\frac{0}{0}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1}{3x^2}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{3x^2\sqrt{1-x^2}}}=e^{\lim_{x\to 0}-\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{3x^2(1+\sqrt{1-x^2}-1)}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}\cancel{x^2}}{3\cancel{x^2}(1-\frac{1}{2}x^2)}}=e^{\frac{1}{6}}[/tex]

[blonddy]

Много благодаря за решението!!Само че имам 2 въпроса:
1.Защо изчезва ln?
2.Защо изчезва arctanx?
Съжалявам че задавам такива въпроси , но наистина ми е доста трудно да се оправям с тези тригонометрии .....

[ferry2]

Използвам, че [tex]\ln(1+x)\sim x[/tex] при [tex]x\to 0[/tex] и [tex]\arctan x\sim x[/tex] при [tex]x\to 0[/tex]

[blonddy]

Оу...ами къде мога да погледна за тези неща тъй като нямам информация за такива преобразувания и явно не съм наясно...А пък е хубаво да ги знам.
П.С. И много ти благодаря направо си златен.

[ferry2]

Преподадоха ни ги като взехме граница на функция. Наричат се асимптотични равенства при еквивалентните функции.