Помощ за 2 задачи..

[mat_23]

Здравейте.. бях 8ми клас.. преди 3 месеца, което явно е доста.. и съм позабравил малко материала... и срещнах трудност с 2 задачи:

1. Даден е неправоъгълен триъгълник ABC с ортоцентър H. Да се докаже, че описаните около триъгълниците ABC, ABH, ACH, BCH окръжности имат равни радиуси.

2. Да се докаже, че в четириъгълника ABCD може да се впише окръжност тогава и само тогава, когато вписаните в триъгълниците ABC и в ADC окръжности се допират.

Благодаря предварително

[Реклама]

[gsinekliev]

Ще пиша по първата задача.Трябва да докажеш че [tex]\Delta ABH [/tex]е еднакъв на [tex]\Delta ABE[/tex](E е пресечната точка на описаната около ABC окръжност и височината през C).Така понеже радиусът на описаната около ABE окръжност е същият като на окръжността описана около ABC(защото това е една и съща окръжност!)Следователно ако докажеш еднаквостта на тези два триъгълника ще докажеш че [tex]\Delta AHB [/tex]и [tex]\Delta ABC [/tex]имат равни радиуси на описаните окол тях окръжностти.Самото д-во е елементарно:
[tex]\angle ABH = \angle ADE = 90 - \angle A [/tex]
[tex]\angle ADE = \angle ABE[/tex](като вписани на една и съща дъга)
От тези две равенства имаш[tex] \angle ABE = \angle ABH(1)[/tex]
Аналогично доказваш, че [tex]\angle BAH =\angle EAB(2)[/tex]
Освен това имаш, че AB e обща(3)
От тези три равенства еднаквостта е доказана по втори признак.Аналогично се доказва и при другите триъгълници.Радиусите им са равни защото всеки един поотделно е равен на радиуса на описаната около [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност

[gsinekliev]

Втората:
Нека окръжността вписана в [tex]\Delta ABC [/tex]допира AC в точка M, а окръжността вписана в [tex]\Delta ADC[/tex] - в точка N
Да намерим MN.
Нека полупериметрите на [tex]\Delta ADC[/tex] и [tex]\Delta ABC [/tex]са съответно [tex]p_1[/tex] и [tex]p_2[/tex].
[tex]AM = p_2-BC, AN = p_1-CD[/tex]
[tex]MN = |AM-AN| = |p_2-BC - p_1+CD| = |\frac{AB+BC+AC-2BC -AD-CD-AC + 2CD}{2}|[/tex]
[tex]MN = \frac{1}{2}|(AB+CD) - (AD+BC)|[/tex]
И така, ако четириъгълникът може да се впише в окръжност, то сборът на срещуположните страни е равен, тоест [tex]AB+CD = AD+BC => MN =0 [/tex],което означава, че двете окръжности се допират.
Обратно, ако двете окръжности се допират, то [tex]MN=0[/tex] и [tex]AB+CD = AD+BC [/tex], тоест в четириъгълника може да се впише окръжност.

[mat_23]

Невероятен отговор.. смисъл.. по-добре не можеше да ми ги опишеш.. макар че на първата само допълнителното построение ми трябваше, а на втората нз как не съм се сетил... благодаря много

П.П. Имаш техническа грешка към края на втората задача..
писал си: за да може четириъгълникът да се впише в окр., а трябва да е за да може В четириъгълникът да се впише окр..
(казвам само ако и други ползват това решение )