4 степен с параметри

[ins-]

Докажете, че ако уравнението:
[tex]x^4+ax^{3}+bx^2-4x+1=0[/tex],
където [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са реални променливи, има само положителни реални корени, то [tex]a+b=2[/tex].

[Реклама]

[naitsirk]

[Пафнутий]

Условието е достатъчно ясно - полиномът има 4 положителни реални корена.

[martosss]

Ето ви едно сравнително бързо решение:
Нека корените са [tex]k,l,m,n[/tex], тогава от Виет* имаме:
[tex]k+l+m+n=-a\\kl+lm+mn+nk+ln+mk=b\\klm+lmn+mnk+nkl=4\\klmn=1[/tex]
От 4-тото имаме [tex]l=\frac{1}{kmn}[/tex]
От 3-тото получаваме [tex]\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{k}+kmn=4[/tex]
От неравенството между Средно-аритметично и Средно-геометрично за лявата страна получаваме:
[tex]4=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{k}+kmn\ge 4[/tex], като равенство се достига при [tex]\frac{1}{n}=\frac{1}{m}=\frac{1}{k}=kmn\Right n=m=k, k^4=1\Right k=m=n=1[/tex]
Тогава от 1-во и 2-ро у-е за а+б получаваме
[tex]a+b=\frac{1}{mn}+\frac{1}{nk}+mn+nk+\frac{1}{mk}+mk-(m+n+k+\frac{1}{mnk})=6-4=2[/tex].

[Пафнутий]

Къв Хорнер те гони Това си е Виет...

[martosss]

Оф, да де, Виет!