Ирационално уравнение

[ins-]

Решете уравнението:
[tex]\sqrt[3]{x^{3}-\frac{18}{x}}+\sqrt[3]{\frac{18}{x}+3x-3x^{2}}=x[/tex]

[Реклама]

[martosss]

полагаме [tex]\sqrt[3]{x^3-\frac{18}{x}}=t[/tex] и получаваме
[tex]t+\sqrt[3]{-t^3+x^3-3x^3+3x-1+1}=x[/tex]
[tex]\sqrt[3]{(x-1)^3-t^3+1}=x-t[/tex]
[tex](x-1-t)(x^2-2x+1+tx-t+t^2)=(x-t)^3-1=(x-t-1)(x^2-2xt+t^2+x-t+1)[/tex]
[tex](x-t-1)(-2x+tx+2xt-x)=0[/tex]
[tex]x=t+1[/tex] или [tex]3x(t-1)=0[/tex]

От второто получаваме
[tex]x=0\N\in D.S.\cup t=1\Right x^3-\frac{18}{x}=1[/tex]
[tex]x^4-x-18=0[/tex]
[tex]x^4-16- (x+2)=0[/tex]
[tex](x-2)(x+2)(x^2+4)-(x+2)=0[/tex]
[tex](x+2)(x^3-2x^2+4x-9)=0[/tex]
[tex]x=-2[/tex]
[tex]x^3-2x^2+4x-9=0[/tex]
За първото имаме
[tex]x-1=\sqrt[3]{x^3-\frac{18}{x}}[/tex]
[tex]\N {x^3}-3x^2+3x-1=\N {x^3}-\frac{18}{x}[/tex]
[tex]3x^3-3x^2+x-18=0[/tex]
сега станаха две уравнения после ще ги мисля.

[Spider Iovkov]

"Хубавият" корен е [tex]x=-2[/tex] и се открива без много сметки.

[martosss]

ОМГ, имам грешка в условието! Писал съм [tex]\sqrt[3]{x^3-\frac{18}{x^3}}[/tex]

ей сега ще го оправя.

[Spider Iovkov]

Има един още по-хитър начин от полагането, .

[naitsirk]

[Spider Iovkov]

Тъй като [tex]x_{0}=0[/tex] не е решение, умножаваме двете страни на
уравнението с [tex]\frac{1}{x}[/tex] и получаваме

[tex]\frac{1}{x}\sqrt[3]{\frac{x^4-18}{x}}+\frac{1}{x}\sqrt[3]{\frac{18+3x^2-3x^3}{x}}=1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{x^4-18}{x^4}}+\sqrt[3]{\frac{18+3x^2-3x^3}{x^4}}=1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{1-\frac{18}{x^4}}+\sqrt[3]{\frac{18}{x^4}+\frac{3}{x^2}-\frac{3}{x}}=1[/tex].

Сега полагаме [tex]\frac{1}{x}=u, \, u\neq 0 \Rightarrow \sqrt[3]{1-18u^4}+\sqrt[3]{18u^4+3u^2-3u}=1[/tex]. Нека [tex]\sqrt[3]{1-18u^4}=t, \, \sqrt[3]{18u^4+3u^2-3u}=v[/tex]. Оттук лесно намираме

[tex]\begin{array}{||} 18u^4=1-t^3 \\ 18u^4=v^3-3u^2+3u \end{array}[/tex],

откъдето стигаме до системата

[tex]\begin{array}{||} v+t=1 \\ 1-t^3=v^3-3u^2+3u \end{array}[/tex].

Ясно е, че [tex]v^3=(1-t)^3 \Leftrightarrow v^3=1-3t+3t^2-t^3[/tex].
Заместваме това във второто уравнение на системата и

[tex]\Rightarrow \cancel 1-\cancel {t^3}= \cancel 1-3t+3t^2-\cancel {t^3}-3u^2+3u \Leftrightarrow 3t^2-3t=3u^2-3u \Leftrightarrow t^2-t=u^2-u \Leftrightarrow (t+u)(t-u)=t-u \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (t-u)(t+u-1)=0[/tex].

Сега от [tex]t=u[/tex] имаме уравнението [tex]\sqrt[3]{1-18u^4}=u \Leftrightarrow 1-18u^4=u^3 \Leftrightarrow 18u^4+u^3-1=0 \Leftrightarrow (u+\frac{1}{2})(18u^3-8u^2+4u-2)=0[/tex], а от [tex]t+u=1 \ - \ \sqrt[3]{1-18u^4}=1-u \Leftrightarrow 1-18u^4=(1-u)^3 \Leftrightarrow 18u^3-u^2+3u-3=0[/tex].

И сега уравнения от вида [tex]ax^3+bx^2+cx+d=0, \, a\neq 0[/tex], се свеждат до [tex]x^3+px+q=0[/tex], като се положи [tex]y=x+\frac{b}{3a}[/tex]. Това вече е решимо с Кардано.

[ганка симеонова]