Точни квадрати

[ганка симеонова]

Да се докаже, че числата

[tex]49; 4489; 444889; 44448889; ....[/tex] са точни квадрати.

[Реклама]

[mousehack]

Ясно е,че 49 е точен квадрат(49=7*7).
Сега оттук разбираме,че второто число 4489 се намира между 70*70=4900 и 60*60=3600.Сега тъй като 4489 завършва на 9 => 4489 може да е точен квадрат на едно от числата:63 или 67.Но тъй като 4489 не се дели на 3(4+4+8+9=25) => ако 4489 е точен квадрат то ще е на числото 67 ---> 4489/67=67 => 4489 е точен квадрат.
От 67*67=4489 получаваме че 670*670=448900.Сега оттук разбираме,че третото число 444889 се намира между 660²(660*660=435600) и 670².Аналогично получажаме,че ако 444889 е точен квадрат то ще е на числото 667 ----> 444889/667=667.
От 667*667=444889 получаваме,че 6670*6670=44488900.Сега оттук разбираме,че четвъртото число 44448889 се намира между 6660²(6660*6660=44355600) и 6670².Аналогично получажаме,че ако 44448889 е точен квадрат то ще е на числото 6667 ----> 44448889/6667=6667.

[ганка симеонова]

Задачата е с многоточие. Трябва да докажеш за всяко число, което съдържа (n+1) 4- ки и n 8-ци.

[mousehack]

Заемам се.

[martosss]

Ще докажем с индукция:
[tex]M_n=\left(\underbrace{6....6}_{n}7\right)^2=\underbrace{4\dots 4}_{n+1}\underbrace{8\dots 89}_{n+1}[/tex]
Започваме с n=0 - 7²=49 - всичко е ок.

Нека е изпълнено за n=k
Тогава за n=k+1 имаме
[tex]M_{k+1}=\left(\underbrace{6\dots 6}_{k+1}7\right)^2=\left(6*10^{k+1}+\underbrace{6\dots 6}_{k}7\right)^2=36*10^{2k+2}+M_k+12*\underbrace{6\dots 6}_{k}7*10^{k+1}[/tex]
Сега [tex]12*\underbrace{6\dots 6}_{k}7*10^{k+1}=\left(6\underbrace{6\dots 67}_{k}0+1\underbrace{3\dots 3}_{k}4\right)*10^{k+1}=8\underbrace{0\dots 0}_{k}4*10^{k+1}=8*10^{2k+2}+4*10^{k+1}[/tex]
Тогава
[tex]M_{k+1}=(36+8 )*10^{2k+2}+M_k+4*10^{k+1}=44*10^{2k+2}+(\underbrace{4\dots 4}_{n+1}+4)*10^{k+1}+\underbrace{8\dots 8}_{k}9=\\44*10^{2k+2}+\underbrace{4\dots 4}_{k}8*10^{k+1}+\underbrace{8\dots 8}_{k}9=44\underbrace{4\dots 4}_{k}8\underbrace{8\dots 8}_{k}9=\underbrace{4\dots 4}_{k+2}\underbrace{8\dots 9}_{k+2}[/tex].
С това индукционната стъпка е завършена, тоест доказахме, че всяко число от вида [tex]\underbrace{4\dots 4}_{n}\underbrace{8\dots 89}_{n}[/tex], където n е неотрицателно, е точен квадрат.

[mousehack]

Готово:
[tex]67^2=4489[/tex]
[tex]667^2=444889[/tex]
[tex]6667^2=44448889[/tex]
Забелязваме следното:
[tex](\underbrace {6...6}_{n}7)^2=\underbrace{4...4}_{n+1}\underbrace {8...8}_{n}9[/tex]
Ще докажем твърдението с метода на математическата индукция.
Нека при [tex]n=k[/tex],твърдението е вярно:
[tex](\underbrace {6...6}_{k}7)^2=\underbrace{4...4}_{k+1}\underbrace {8...8}_{k}9[/tex]
Тогава при [tex]n=k+1[/tex] имаме:
[tex](\underbrace {6...6}_{k+1}7)^2=(\underbrace {6...6}_{k}7*10-3)^2=\underbrace {4...4}_{k+1}\underbrace {8...8}_{k}900+9-\underbrace {6...6}_{k}70*6=\underbrace {4...4}_{k+1}\underbrace {8...8}_{k}909-4\underbrace {0...0}_{k}20=\underbrace {4....4}_{k+2}\underbrace {8...8}_{k+1}9[/tex]

Следователно твърдението е вярно за всяко естествено число [tex]n[/tex].

[Saposto_MM]

[tex]\underbrace{4\ldots 4}_{n}\underbrace{8\ldots 8}_{n-1}9=4\cdot\underbrace{1\ldots 1}_{n}\underbrace{0\ldots 0}_{n}+8\cdot\underbrace{1\ldots 1}_{n-1}+1=4\cdot 10^n\left(\frac{10^n-1}{9}\right)+8\left(\frac{10^n-1}{9}\right)+1=\frac{\left(4\cdot 10^{2n}-4\cdot 10^n\right)+\left(8\cdot 10^n-8\right)+9}{9}=\frac{\left(2\cdot 10^n\right)^2+2\cdot 2\cdot 10^n\cdot 1+1^2}{3^2}=\left(\frac{2\cdot 10^n+1}{3}\right)^2[/tex]

[xyz]

Каква индукция ви трябва изобщо??? Ето как става: