Да се намери триъгълник....

[ганка симеонова]

Да се намери триъгълник, удовлетворяващ следните условия:
едната от медианите му е равна на страната, към която е спусната, страните му се изразяват с цели числа и периметърът му е най- малък.

[Реклама]

[_sssss]

13+9+20=42
?

[ганка симеонова]

[martin.nikolov]

3+4+5=12

[Saposto_MM]

Нали не се изпълнява условието за медианата. Най-малкия трябва да е 9,10,13 с медиана към страна 10 равна на 10 и периметър 34. Ще си проверя сметките и ако не съм объркал ще напиша решение.

[martin.nikolov]

[Saposto_MM]

Така, формулата за медианата ще ни е отправна точка. Нека медианата срещу страна c да е равна на c. Тогава имаме [tex]2a^2+2b^2=5c^2[/tex]. Имаме диофантово уравнение и за да се освободим от условието за страни на триъгълник прилагаме субституцията на Ravi(тя по принцип се използва при неравенства). Нека [tex]a=x+y[/tex], [tex]b=y+z[/tex] и [tex]c=z+x[/tex]. Така в уравнението от горе получаваме [tex]2\left(x+y\right)^2+2\left(y+z\right)^2=5\left(z+x\right)^2[/tex]. Сега това уравнение го решаваме като квадратно относно y (неслучайно y, просто е уникално в това уравнение(макар, че това едва ли има голямо значение)) и получаваме [tex]D=x^2+3xz+z^2[/tex]. Съсредоточаваме се върху D. Трябва да е точен квадрат. Нека [tex]D=m^2[/tex]. И сега малко проверки. Даваме стойности на z и разглеждаме като квадратно относно x.
Нека z=1. Тогава [tex]D_{1}[/tex] (дискриминантата на новото уравнение) е [tex]4m^2+5[/tex], което може да е като квадрат само 9. Обаче тогава [tex]x=0[/tex] - проблем - две от страните ще са равни, а този случай лесно се отхвърля.
Нека z=2. Тогава [tex]D_{1}=m^2+5[/tex] и пак същия проблем като горе. (тук оставям тривиалните диофантови уравниния - те наистина са тривиални, за да се разглеждат)
Нека z=3. Тук вече вкарваме гол. [tex]D_{1}=4m^2+45[/tex], като това е квадрат при [tex]m=11[/tex], е и при други но искаме [tex]x>0[/tex]. Сега излиза [tex]x=7[/tex]. После лесно получаваме от [tex]2\left(x+y\right)^2+2\left(y+z\right)^2=5\left(z+x\right)^2[/tex] [tex]y=6[/tex].
Добре е да се каже, че когато избираме малки z това ще гарантира и по-малки x, при който [tex]D=x^2+3xz+z^2[/tex] е точен квадрат. Също така когато x и z са по-малки и y е по-малко. Това е ясно от уравнението [tex]2\left(x+y\right)^2+2\left(y+z\right)^2=5\left(z+x\right)^2[/tex]. Така като ги избираме по-малки ще достигнем и до по-малък сбор - периметър. Затова започвам с проверки на z от [tex]z=1[/tex].
И значи страните са 9,10,13.

[ганка симеонова]

Красив гол. Има и други начини, ако някой иска, може да се пробва

[_sssss]

Аз решавам по малоумния начин.
[tex]\normal 5m^2=2a^2 + 2b^2[/tex]

[tex]\normal P=a+b+\sqrt{\frac{2}{5}(a^2+b^2)}[/tex]

[tex]\normal a^2 + b^2 = 2^{2n-1} \cdot 5^{2k-1}[/tex], за да е минимално, няма други множители, освен 2 и 5.

Имаме много случаи - [tex]\normal 2^1 \cdot 5^1, \; 2^3 \cdot 5^1, \; 2^5 \cdot 5^1, \; 2^1\cdot 5^3[/tex]...
Ограничаваме решенията с [tex]\normal a+b>m, \; a+m>b, \; b+m>a[/tex] и първото възможно е в случая [tex]\normal 2^1\cdot 5^3 \Rightarrow 13, \; 9, \; 10[/tex]

PS. Първоначално бях объркала формулата за медианата.