логаритмична глупост

[brood2]

3^{2+log22(x) = x3log2(3)}

[Реклама]

[DevilFighter]

Задачата е много интересна.Хареса ми.Ето и решението :
3^{2 + log22 (x)} = x^{3log2 (3)}
ДС : x > 0

полагам x^{log2 (3)} = t / ^{1/(log2 (3) )}
x = t^{1/(log2 (3) )} = t^{log3 (2)}

log2 (x) = log2 (t^{log3 (2)}) = log3 (2) * log2 (t) = log3 (t)

3²*3^{log23 (t)} = t³
3^{log23 (t)} = 3^{log3 (t)*log3 (t)} = (3^{log3 (t)})^{log3 (t)} = t^{log3 (t)}

9* t^{log3 (t)} = t³
(9 * t^{log3 (t)}) / t³ = 1
(t^{log3 (t)}) / t³ = 1/(3²)
t^{log3 (t) - 3.log3 (3)} = 3^-2
t^{log3 (t/27)} = 3^-2
log3 (t/27) = logt (3^-2)
log3 (t) - log3 3³ = -2logt (3)
log3 (t) - 3 = -2logt (3)

полагам log3 (t) = u
u - 3 = (-2) * 1/u
u² -3u + 2 = 0 като u ≠ 0
u1 = 2 ; u2 = 1
u2 = 1
log3 (t) = 1.log3 (3)
t = 3
x^{log2 (3)} = 3
x = 3 ^{1/log2 (3)}
x = 3^{log3 (2)}
x = 2

u1 = 2
log3 (t) = 2.log3 (3)
t = 9
x^{log2 (3)} = 9
x = 3^{2*(1/log2 (3))}
x = 3^{2log3 (2)}
x = 4

[Methuselah]

Красота.

[r2d2]

Защо просто не логаритмуваме оригиналното уравнение при основа 2?

[Infernum]

Мале, мале, мале.....
какво виждат очите ми.......
Вижте сега, задачата се решава без всякакви субституции, при това елементарно:
3^2+log₂x = x^3log₂3
х>0
От
log₂x = (log₃x)/(log₃2) = log₃x^1/log₃2
имате:
9*x^1/log₃2 = x^log₂27
<=>
9=х^{log₂27-1/log₃2}
от тук, като вземете прдвид, че log₂27=3/log₃2 и че 1/log₃2=log₂3, веднага се получава:
9=2^2log₂3 = x^2log₂3
откъдето
x=2.

[DevilFighter]

Infernum условието на задачата е 3^{2+log22 (x)} = x^{3log2 (3)}
пролуснал си да видиш, че единия логаритъм ти е на 2-ра степен.

[Infernum]

Ми тогава тоя, който е пуснал задачата да си гледа работата.
Аз от къде да знам дали е искал да каже, че логаритъма е повдигнат на втора степен, или че осовата е 22, или че неволно е добавил една 2ка в повече.
Ти от къде си разбрал, че той точно това е искал да каже, а???
Да се научат да пишат, като искат да им решаваме задачите, какво е това!
Като не става с таговете да се вдига степен на степен, да вкарва символа за степенуване ^, да се слагат скоби, където е задължително и толкова. Просто е.

[DevilFighter]

Да,наиситна си прав.Но мисля,че условието все пак се разбира.Обаче щеше да е много по-добре да се слагат скобички и малко интервали за да бъде по - лесно за разчитане и да отделяме повече време за решаване на задача отколкото за разшифроване на условието и.

[Infernum]

Но все пак, ето един значително по-прост и рационален начин за решаване на поставената задача с условието, за което ти говориш.
Дясната стрaна на уравнението, за х>0, може да се представи във формата: x^3log₂3=3^(log₃x^3log₂3
после
log₃x=(log₂x)/(log₂3)
Тогава
log₃x^3log₂3=(3log₂3)*(log₃x)=(3log₂3)*(log₂x)/(log₂3)=3log₂x
Тогава дясната страна добива вида:
x^3log₂3=3^(3log₂x)
Тогава изходното уравнение приема формата:
3^(2+log²₂x)=3^(3log₂x)
и се свежда до простото логаритмично уравнение 2+log²₂x = 3log₂x, което оставям да си решите сами непосредствено, като положите log₂x = t.

[DevilFighter]

Този начин е с пъти по-лек от моя.Браво,решението е добро.Хитро измъкване