Красива стереометрия

[ганка симеонова]

Да се докаже, че ако в един тетраедър сборовете на срещуположните двойки ръбове са равни помежду си, то върховете на тетраедъра са центрове на сфери, които се допират две по две.

[Реклама]

[NoThanks]

Ако допуснем, че върховете на пирамидата могат да са центрове на такива сфери, то остава да се разгледат окръжностите, които са сечения на сферите със стените на пирамидата. Ако радиусите на тези окръжности са [tex]R_{1},R_{2}, R_{3}, R_{4}[/tex], то излиза, че ръбовоте на пирамидата са по [tex]R_{1}+R_{2} \; ; R_{1}+R_{3} \; ; R_{2}+R_{3} \; ; R_{2}+R_{4} \; ; R_{3}+R_{4}[/tex] Т.е сумата на всяка двойка с/уположни ръбове е [tex]R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}[/tex] <=> сумите на двойките с/уположни ръбове са равни, което е и дадено по условие и което ни решава задачката.

[martosss]

С това разбрахме, че всеки тетраедър, съставен от центровете на 4 допиращи се сфери, има сума на срещуположните страни [tex]R_1+R_2+R_3+R_4[/tex].

А как разбираме, че няма други такива фигури, на които сборът от срещуположните ръбове да е същият, но въпреки това техните върхове да не са центрове на такива сфери?(примерно две срещуположни страни са с дължини [tex]R_1+R_2+k, R_3+R_4-k[/tex], а останалите са с дължини [tex]R_1+R_2, R_3+R_4[/tex])

[NoThanks]

Ми тва си излиза с допускане на противното
Разглеждаме си пирамидата:
1)описваме сфера с център А и радиус R1
2) описваме сфера с център D и радиус R2, т.ч R1+R2=AD
Нека сигма(А) пресича AB = W1; AC=W2 ; \; sigma(D) presi4a BD=W3; CD=W4 \; sigma(A) X sigma(D) =P . Сега нека опишем сфера с център B и радиус AB-R1. Да допуснем, че тази сфера пресича БД в точка различна от W3, нека тази сфера пресича BC=K и радиуса на сферата е у. Аналог описваме сфера с център и радиус BC-y=x и допускаме, че пресича АЦ и CD в точки различни от W4 и W2. Тогава от условието, че сумите са равни имаме: R1+R2+x+y = Р1+x+R2+y+-W4X(другата точка в която пресича). От тук следва, че точките съвпадат и така и с другите страни.

[martosss]

Да, така вече всичко е ясно. Трябваше да напишеш само това последното, според мен то е същинското решение.

[inimitably]

По-интересно ще е да се докаже , че ако са дадени три две по две допиращи се сфери , то съществува една единствена сфера , която се допира и до трите едновременно или по-точно две.

[Baronov]

[NoThanks]

[ганка симеонова]

Не разполага, но ще го изфабрикува

Нека в една от стените, например АВС впишем окр и означим с K,L,N петите на перпендикулярите, спуснати от центъра и О към страните на триъгълника.
Описфаме сфери [tex]s_1, s_2, s_3[/tex] с центроАве А, В, С и радиуси съответно
[tex]R_1=AK=AN; R_2=BK=BL; R_3=CL=CN [/tex]. Тогава очевидно сферите се допират две по две.
Ако първата сфвра пресича АМ в Р, втората-ВМ в Q, а третата- СМ- в Т, то трябва да установим, че
[tex]MP=MQ=MT [/tex]
По условие [tex]AB+CM=BC+AM=CA+BM=>R_1+R_2+R_3+MT=R_3+R_1+R_2+MQ=R_2+R_3+R_1+MP=>MT=MP[/tex]
=>[tex]MT=MP=MQ [/tex]
Изводът мисля, че е ясен.

[NoThanks]

Това не е ли на 95% същото като това дето съм написал по-горе и според баронов грешно?

[Baronov]

Твоето решение избира радиусът на първата сфера произволно. Само това ми трябваше да прочета, за да разбера, че е грешно. Единственият възможен радиус е този, който Ганка избира, не може да си го вземеш произволен.