Регистрирайте сеРегистрирайте се

Красива стереометрия


 
   Форум за математика Форуми -> Стереометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Sep 10, 2009 3:55 pm    Заглавие: Красива стереометрия

Да се докаже, че ако в един тетраедър сборовете на срещуположните двойки ръбове са равни помежду си, то върховете на тетраедъра са центрове на сфери, които се допират две по две.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Thu Sep 10, 2009 9:05 pm    Заглавие:

Ако допуснем, че върховете на пирамидата могат да са центрове на такива сфери, то остава да се разгледат окръжностите, които са сечения на сферите със стените на пирамидата. Ако радиусите на тези окръжности са [tex]R_{1},R_{2}, R_{3}, R_{4}[/tex], то излиза, че ръбовоте на пирамидата са по [tex]R_{1}+R_{2} \; ; R_{1}+R_{3} \; ; R_{2}+R_{3} \; ; R_{2}+R_{4} \; ; R_{3}+R_{4}[/tex] Т.е сумата на всяка двойка с/уположни ръбове е [tex]R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}[/tex] <=> сумите на двойките с/уположни ръбове са равни, което е и дадено по условие и което ни решава задачката.
Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 10, 2009 9:26 pm    Заглавие:

С това разбрахме, че всеки тетраедър, съставен от центровете на 4 допиращи се сфери, има сума на срещуположните страни [tex]R_1+R_2+R_3+R_4[/tex].

А как разбираме, че няма други такива фигури, на които сборът от срещуположните ръбове да е същият, но въпреки това техните върхове да не са центрове на такива сфери?(примерно две срещуположни страни са с дължини [tex]R_1+R_2+k, R_3+R_4-k[/tex], а останалите са с дължини [tex]R_1+R_2, R_3+R_4[/tex])
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Thu Sep 10, 2009 9:56 pm    Заглавие:

Ми тва си излиза с допускане на противното Wink
Разглеждаме си пирамидата:
1)описваме сфера с център А и радиус R1
2) описваме сфера с център D и радиус R2, т.ч R1+R2=AD
Нека сигма(А) пресича AB = W1; AC=W2 ; \; sigma(D) presi4a BD=W3; CD=W4 \; sigma(A) X sigma(D) =P . Сега нека опишем сфера с център B и радиус AB-R1. Да допуснем, че тази сфера пресича БД в точка различна от W3, нека тази сфера пресича BC=K и радиуса на сферата е у. Аналог описваме сфера с център и радиус BC-y=x и допускаме, че пресича АЦ и CD в точки различни от W4 и W2. Тогава от условието, че сумите са равни имаме: R1+R2+x+y = Р1+x+R2+y+-W4X(другата точка в която пресича). От тук следва, че точките съвпадат и така и с другите страни.
Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 10, 2009 10:21 pm    Заглавие:

Да, така вече всичко е ясно. Трябваше да напишеш само това последното, според мен то е същинското решение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
inimitably
Редовен


Регистриран на: 13 Nov 2008
Мнения: 102

Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9
гласове: 25

МнениеПуснато на: Mon Sep 14, 2009 7:43 pm    Заглавие:

По-интересно ще е да се докаже , че ако са дадени три две по две допиращи се сфери , то съществува една единствена сфера , която се допира и до трите едновременно или по-точно две.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Mon Sep 14, 2009 8:22 pm    Заглавие:

NoThanks написа:
Ако допуснем, че върховете на пирамидата могат да са центрове на такива сфери, то остава да се разгледат окръжностите, които са сечения на сферите със стените на пирамидата. Ако радиусите на тези окръжности са [tex]R_{1},R_{2}, R_{3}, R_{4}[/tex], то излиза, че ръбовоте на пирамидата са по [tex]R_{1}+R_{2} \; ; R_{1}+R_{3} \; ; R_{2}+R_{3} \; ; R_{2}+R_{4} \; ; R_{3}+R_{4}[/tex] Т.е сумата на всяка двойка с/уположни ръбове е [tex]R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}[/tex] <=> сумите на двойките с/уположни ръбове са равни, което е и дадено по условие и което ни решава задачката.


Как може да допуснеш, че има такива сфери? Нали това трябва да се докаже.

И другото ти решение е грешно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Tue Sep 15, 2009 4:22 pm    Заглавие:

Baronov написа:
NoThanks написа:
Ако допуснем, че върховете на пирамидата могат да са центрове на такива сфери, то остава да се разгледат окръжностите, които са сечения на сферите със стените на пирамидата. Ако радиусите на тези окръжности са [tex]R_{1},R_{2}, R_{3}, R_{4}[/tex], то излиза, че ръбовоте на пирамидата са по [tex]R_{1}+R_{2} \; ; R_{1}+R_{3} \; ; R_{2}+R_{3} \; ; R_{2}+R_{4} \; ; R_{3}+R_{4}[/tex] Т.е сумата на всяка двойка с/уположни ръбове е [tex]R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}[/tex] <=> сумите на двойките с/уположни ръбове са равни, което е и дадено по условие и което ни решава задачката.


Как може да допуснеш, че има такива сфери? Нали това трябва да се докаже.

И другото ти решение е грешно.

За първото съм съгласен, че е малко "отзад-напред" и действително не е правилно, но какво му е на другото?! И защо никой друг не се изказва по задачата? Да се разбира ли, че ганка не разполага с решение Rolling Eyes
Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Tue Sep 15, 2009 5:21 pm    Заглавие:

Не разполага, но ще го изфабрикува Laughing

Нека в една от стените, например АВС впишем окр и означим с K,L,N петите на перпендикулярите, спуснати от центъра и О към страните на триъгълника.
Описфаме сфери [tex]s_1, s_2, s_3[/tex] с центроАве А, В, С и радиуси съответно
[tex]R_1=AK=AN; R_2=BK=BL; R_3=CL=CN [/tex]. Тогава очевидно сферите се допират две по две.
Ако първата сфвра пресича АМ в Р, втората-ВМ в Q, а третата- СМ- в Т, то трябва да установим, че
[tex]MP=MQ=MT [/tex]
По условие [tex]AB+CM=BC+AM=CA+BM=>R_1+R_2+R_3+MT=R_3+R_1+R_2+MQ=R_2+R_3+R_1+MP=>MT=MP[/tex]
=>[tex]MT=MP=MQ [/tex]
Изводът мисля, че е ясен.


Последната промяна е направена от ганка симеонова на Tue Sep 15, 2009 6:43 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Tue Sep 15, 2009 5:33 pm    Заглавие:

Това не е ли на 95% същото като това дето съм написал по-горе и според баронов грешно?
Върнете се в началото
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Wed Sep 16, 2009 7:40 am    Заглавие:

Твоето решение избира радиусът на първата сфера произволно. Само това ми трябваше да прочета, за да разбера, че е грешно. Единственият възможен радиус е този, който Ганка избира, не може да си го вземеш произволен.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Стереометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.