Регистрирайте сеРегистрирайте се

Граница!!!


 
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
me4eto
Начинаещ


Регистриран на: 22 Jul 2009
Мнения: 6


МнениеПуснато на: Wed Sep 09, 2009 3:18 pm    Заглавие: Граница!!!

Да се пресметне границата:
[tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{ \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) }-\frac{1}{\ln\left(1+x\right)}\right)[/tex]

MM: Поработи върху владеенето си на Latex!


Последната промяна е направена от me4eto на Wed Sep 09, 2009 3:31 pm; мнението е било променяно общо 4 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Flame
Редовен


Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
Репутация: 29.6Репутация: 29.6Репутация: 29.6
гласове: 16

МнениеПуснато на: Wed Sep 09, 2009 3:53 pm    Заглавие: Re: Граница!!!

me4eto написа:
Да се пресметне границата:
[tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{ \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) }-\frac{1}{\ln\left(1+x\right)}\right)[/tex]

Е ти, как я решаваш?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
me4eto
Начинаещ


Регистриран на: 22 Jul 2009
Мнения: 6


МнениеПуснато на: Wed Sep 09, 2009 5:09 pm    Заглавие:

аз правя НОЗ и получавам после получавам [tex] \frac{0-0}{ 0*0} [/tex] и незнам как да продължа Sad
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Flame
Редовен


Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
Репутация: 29.6Репутация: 29.6Репутация: 29.6
гласове: 16

МнениеПуснато на: Tue Sep 15, 2009 11:36 am    Заглавие: Re: Граница!!!

me4eto написа:
Да се пресметне границата:
[tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{ \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) }-\frac{1}{\ln\left(1+x\right)}\right)[/tex]

Решение 1
Така, правим следните еквивалентни преобразования:
[tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{ \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) }-\frac{1}{\ln\left(1+x\right)}\right)=\lim_{x\to0}\frac{\ln (x+1)-\ln \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\ln (x+1) \ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}=\lim_{x\to0 }\frac{\ln \left(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x}\right)}{\ln (x+1) \ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}[/tex]
Правим следното полагане [tex]x=\frac{1}{u} \Rightarrow u\to\infty [/tex]

[tex]\lim_{x\to\infty }\frac{\ln \left(\frac{u+1}{\sqrt{\frac{1}{u^2}+1}.u+1}\right)}{\ln\left(\frac{1}{u}+1\right) \ln\left(\sqrt{\frac{1}{u^2}+1}+\frac{1}{u}\right)}=[\frac{0}{0} ][/tex]

[tex] (\ln \left(\frac{\frac{1}{u}+1}{\sqrt{\frac{1}{u^2}+1}+\frac{1}{u}}\right))' =\frac{-\sqrt{\frac{1}{u^2}+1} u+u+1}{\sqrt{\frac{1}{u^2}+1} u^2 (u+1)}=A[/tex]


[tex](\ln \left(\frac{1}{u}+1\right) \ln \left(\sqrt{\frac{1}{u^2}+1}+\frac{1}{u}\right))'=\frac{(-u-1) \ln \left(\frac{1}{u}+1\right)-\sqrt{\frac{1}{u^2}+1} u \ln\left(\sqrt{\frac{1}{u^2}+1}+\frac{1}{u}\right)}{\sqrt{\frac{1}{u^2}+1} u^2 (u+1)}=B[/tex]

[tex]\lim_{u\to\infty }\frac{A}{B } =\lim_{u\to\infty }\frac{\left(\sqrt{\frac{1}{u^2}+1}-1\right) u-1}{\sqrt{\frac{1}{u^2}+1} u \ln \left(\sqrt{\frac{1}{u^2}+1}+\frac{1}{u}\right)+(u+1)\ln \left(\frac{1}{u}+1\right)}=\lim_{u\to\infty }\frac{C}{D+E } [/tex]
Принципът за едновременно заместване в случая няма да се наруши, ако и трите граници съществуват.

[tex]E=\lim_{u\to\infty }\ln \left(\frac{1}{u}+1\right)^{u+1}=\ln e=1[/tex]-това е таблична граница.

[tex]C=\lim_{u\to\infty }\left(\sqrt{\frac{1}{u^2}+1}-1\right) u-1=\lim_{u\to\infty }\sqrt{u^2+1}-u-1[/tex]
[tex]C=\lim_{u\to\infty }\sqrt{u^2+1}-u-1=\lim_{p\to0 }\sqrt{(\frac{1}{p } )^2+1}-(\frac{1}{ p} +1) [/tex] , където [tex]u=\frac{1}{p} (p\to0)[/tex]

[tex]C=\lim_{p\to0}\frac{\sqrt{p^2+1}-p-1}{p}=[\frac{0}{0} ]=\lim_{p\to0}\frac{\frac{p}{\sqrt{p^2+1}}-1}{1 }=-1 [/tex]

[tex]D=\lim_{u\to\infty }\sqrt{\frac{1}{u^2}+1} u \ln \left(\sqrt{\frac{1}{u^2}+1}+\frac{1}{u}\right)=\lim_{u\to\infty }\frac{\ln \left(\sqrt{\frac{1}{u^2}+1}+\frac{1}{u}\right)}{ \frac{1}{u.\sqrt{\frac{1}{u^2}+1}}}=[\frac{0}{ 0} ] [/tex]
[tex]D=\lim_{u\to\infty }\frac{-\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{u^2}+1} u^2}}{ -\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{u^2}+1} \left(u^2+1\right)}} =\lim_{u\to\infty }1+\frac{1}{u^2 }=1[/tex]

[tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{ \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) }-\frac{1}{\ln\left(1+x\right)}\right)=\frac{-1}{ 1+1} =-\frac{1}{ 2} [/tex]

Решение 2
[tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{ \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) }-\frac{1}{\ln\left(1+x\right)}\right) =[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{ \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}+1-1\right) }-\frac{1}{\ln\left(1+x+1-1\right)}\right)=[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{ \left(x+\sqrt{1+x^2}-1\right) }-\frac{1}{\left(1+x-1\right)}\right)=[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{ \left(x+\sqrt{1+x^2}-1\right) }-\frac{1}{x}\right)=[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x \left(-(1-\sqrt{x^2+1})+x\right)}=[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{x^2}{2 }}{x \left(-(-\frac{x^2}{2 } )+x\right)}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{\N{x^2}}{2 }}{\N{x^2} \left(\frac{x}{2 }+1\right)}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{2 }}{\left(\frac{x}{2 } +1\right)}=-\frac{1}{2 } [/tex]

ПП. По втория начин с две еквивалентни функционални замени, дори не се наложи да се използва Лопитал!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.