Геометрично неравенство

[ганка симеонова]

Диагоналите на изпъкнал четириъгълник са равни на [tex]2a [/tex] и [tex]2b[/tex].
Да се докаже, че една от страните на четириъгълника не е по- малка от [tex]\sqrt{a^2+b^2} [/tex]

[Реклама]

[martin123456]

[ubuntu]

Лема : За всеки четири точки [tex]W,X,Y,Z[/tex] в пространството е изпълнено неравенството [tex]WX^2+XY^2+YZ^2+ZW^2\ge WY^2+XZ^2[/tex]
Доказателство : Избираме си произволно начало [tex]O[/tex] и означаваме векторите от него до другите 4 точки съответно с [tex]\vec{w} ,\vec{x} ,\vec{y} ,\vec{z} [/tex].
[tex]WX^2+XY^2+YZ^2+ZW^2- WY^2-XZ^2=|\vec{w} -\vec{x} |^2+|\vec{x} -\vec{y} |^2+|\vec{y} -\vec{z} |^2+|\vec{z} -\vec{w} |^2-|\vec{w} -\vec{y} |^2-|\ve{x}-\vec{z}|^2=|\vec{w}+\vec{y}-\vec{x}-\vec{z}|^2\ge 0[/tex] като равенство се достига при [tex]w+y=x+z[/tex] което е вярно тогава и само тогава когато [tex]WXYZ[/tex] е успоредник (възможно изроден). Натам мисля , че се подразбира защо е невъзможно всички страни да са по-малки от [tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex].