Радиус и основа

[Grievery]

Даден е равнобедрен [tex]\Delta ABC[/tex] с основа [tex]AB=c[/tex] и радиус на вписаната окръжност [tex]r[/tex]. Намерете лицето му (това е последната задача от този тип - обещавам, че повече няма да ви тормозя). Благодаря за помощта на всички!

[Реклама]

[naitsirk]

[tex]tg(\frac{\alpha }{2 } )=\frac{2r}{c } [/tex] намери [tex]tg\alpha [/tex] и от там височината.

[ганка симеонова]

Ако О е центърът на вписаната окр, а Н- петата на височината към основата, ползвай свойството на ъглополовящата в АНС и Питагор за същия триъгълник.

[Grievery]

Г-жо Симеонова, спасихте ме за пореден път! Благодаря Ви!

[ганка симеонова]

[Spider Iovkov]

Ето решението. Нека [tex]O[/tex] е центърът на вписаната окръжност, [tex]OP\bot AB, \, OP=r[/tex] и [tex]\angle BAC=\angle ABC=\alpha[/tex]. Лесно се съобразява, че [tex]AP=BP=\frac{c}{2}[/tex] и [tex]\angle CAO=\angle PAO=\angle PBO=\angle CBO=\frac{\alpha}{2}[/tex]. От [tex]\triangle AOP \Rightarrow cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{AP}{AO} \Leftrightarrow cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{c}{\sqrt{4r^2+c^2}}[/tex].
Сега, за да намерим лицето, ще използваме формулата [tex]S=pr[/tex], т. е. трябва да намерим [tex]p[/tex]. Това ще стане, ако знаем дължината на бедрото на триъгълника. Нея ще определим например от [tex]\triangle APC[/tex]: [tex]cos\alpha=\frac{AP}{AC} \Leftrightarrow AC=\frac{AP}{cos\alpha}[/tex].
Но [tex]cos\alpha=cos^2{\frac{\alpha}{2}}-sin^2{\frac{\alpha}{2}} \Leftrightarrow cos\alpha=2 cos^2{\frac{\alpha}{2}}-1[/tex]. Оттук следва [tex]cos\alpha=\frac{c^2-4r^2}{4r^2+c^2}[/tex], откъдето [tex]AC=BC=\frac{c(4r^2+c^2)}{2(c^2-4r^2)}[/tex]. Намираме [tex]p=\frac{c^3}{c^2-4r^2} \Rightarrow S_{\triangle ABC}=\frac{rc^3}{c^2-4r^2}[/tex].

[ганка симеонова]

[Spider Iovkov]

Не е уточнил кой клас е и с какъв материал трябва да се реши, аз затова пуснах тригонометричен вариант, . Другия път да казва, за да не гадаем, .

[ганка симеонова]

В предната му задача, това се коментира

[Grievery]

Всъщност съм ги сънувал Не ме жалете, разбирам от тригонометрия (поне основните формули).