Задача с най-голям общ делител

totkata · Начинаещ Регистриран на: 05 Apr 2007 Мнения: 19

Това е задачата...трябва да я предам тази седмица. След много мислене стигнах до някъде...т.е. a) и b), но на c) и d) нищо не става каквото и да пробвам...
Може ли някой да помогне?

Първото ниво на 49-та Олимпиада по математика протича през 2009 година. Иво твърди:" числото 2009 може да се представи като сума от две числа, така че техния най-голям общ делител да е 49." За доказателство на твърдението си той посочва числата 931 и 1078, на които сумата е 2009 и най-големия общ делител е 49.
a) Провери вярно ли е твърдението на Иво.
b) Намери броя на всички двойки числа (а;b) от положителни цели числа със сумата а+b=2009 и с най голям общ делител 49.
c) Докажи, че не съществува двойка числа (а;b), за която а+b=2010 и най-голям общ делител да е числото 50.
d) В коя година ще се проведе следващата олимпиада по математика, за която пак съществува минимум една двойка положителни числа а и б, така че годината да е сумата от числата а и б и техния най-голям общ делител да е номера на олимпиадата?
Намери броя на всички тези двойки числа (а;b)

Реклама

garion · Пуснато на: Tue Sep 08, 2009 11:50 am Заглавие:

c) нека (a; b) = 50. тогава a = 50k, b = 50l (k,l - цели числа) => a+b = 50(k+l) = 2010.
но 2010 не се дели на 50 => не съществува такава двойка числа

garion · Пуснато на: Tue Sep 08, 2009 11:57 am Заглавие:

г) нека номера на олимпиадата е n тогава годината е 1960 + n. тъй като търсим n такова че n|1960+n => n|1960 и n>49(защото се търси следващата олимпиада.
1960 = 2.2.2.5.7.7
най-малкото такова число е 56. следователно следващата такава олимпиада ще бъде 56 през 1960+56=2016 година.

totkata · Пуснато на: Tue Sep 08, 2009 12:41 pm Заглавие:

Мерcи много за идеите! Аз d) го реших с проверка, като делих годината и следващата олимпиада, докато стигна до резултат цяло число и така стигнах до 56-та олимпиада през 2016 година... и тогава намерих само една двойка (а,b) = 56+1960= 2016 на която най-големия общ делител да е 56. Или има и други?

garion · Пуснато на: Tue Sep 08, 2009 12:55 pm Заглавие:

сигурно има, но то се търси следващата, така че другите не трябва да търсят.
но ако толкова държиш да ги разбереш:
знаем, че n|1960 и 1960=2.2.2.5.7.7. от тук намираме всички делители на 1960 и всеки един тях е номер на олимпиада, който търсим и след това си намираш и годината.