Задача с хорди

[Spider Iovkov]

В окръжност с радиус [tex]R[/tex] са построени две взаимно перпендикулярни неравни хорди [tex]MN[/tex] и [tex]PQ[/tex]. Да се намери [tex]|MP|[/tex], ако [tex]|NQ|=a[/tex].

За тези до 8 клас – без тригонометрия! За останалите – както желаят. Задачата е лесна, но я пускам, защото има страхотно решение, ... поне по мое мнение, .

[Реклама]

[naitsirk]

[tex]MP=\sqrt{4R^2-a^2} [/tex]

[krainik]

Ако някой успее да реши задачата със знания до 8 клас както е казал Йовков - шапка му свалям... Това е по-скоро, защото го смятам за невъзможно ;]

[Spider Iovkov]

[martin.nikolov]

[naitsirk]

Ако не забележим това, става и със синусови теореми за QPN и MNP

[Spider Iovkov]

Нека [tex]MN \cap PQ=F[/tex] и [tex]\angle QMN=\angle QPN=\varphi[/tex] (вписани). Тогава [tex]\triangle QNF \sim \triangle MPF[/tex]. От подобиeто следват съответно отношенията
[tex]\frac{QN}{MP}=\frac{NF}{PF}=\frac{QF}{MF} \Leftrightarrow MP=\frac{QN.PF}{NF}[/tex].
Но от [tex]\triangle NFP[/tex] е ясно, че [tex]\frac{PF}{NF}=\cot \varphi[/tex]. Тогава [tex]MP=\sqrt{4R^2-a^2}[/tex].

martin.nikolov, [tex]O[/tex] е центърът на окръжността ли?

[Todor_d1]

е добре как от a.cotg(fi) ще стане [tex]\sqrt{4R^2-a^2}[/tex] ? може ли да го изведеш?

[Spider Iovkov]

[tex]\triangle NPQ \Rightarrow \frac{a}{sin\varphi}=2R \Leftrightarrow sin\varphi=\frac{a}{2R} \Rightarrow cos\alpha=\frac{\sqrt{4R^2-a^2}}{2R} \Rightarrow \cot\varphi=\frac{cos\varphi}{sin\varphi} \Leftrightarrow \cot\varphi=\frac{\sqrt{4R^2-a^2}}{a} \Rightarrow MP=\sqrt{4R^2-a^2}[/tex]

[ганка симеонова]

Емо, подобие се учи в 9 клас, а не в 8
Освен това ползваш тригоноетрия.

[ганка симеонова]

Построяваме диаметър QT. Разглеждаме триъгълниците [tex]\Delta BPN [/tex] и [tex]\Delta QTN [/tex]
[tex]1)\angle BPN=\angle QTN [/tex]
[tex]2)\angle PBN=\angle QNT=90^\circ =>[/tex]
[tex]3)\angle PNB=\angle TQN=>MP=TN=x [/tex]
Прилагаме Питагор за [tex]\Delta TNQ=>x=\sqrt{4R^2-a^2} [/tex]

[martosss]

Нека с [tex]OS=m[/tex] и [tex]OT=n[/tex] да означим разстоянията от [tex]O[/tex] съответно до [tex]MN[/tex] и [tex]PQ[/tex] ([tex]S[/tex] и [tex]T[/tex] са среди съответно на [tex]MN[/tex] и [tex]PQ[/tex] )
Тогава ако [tex]MN\cap PQ=F[/tex], то [tex]OSFT[/tex] е правоъгълник, понеже има 3 прави ъгъла. Оттук [tex]TF=OS=m[/tex] и [tex]OT=FS=n[/tex]
Тогава [tex]PT=TQ=\sqrt{R^2-n^2}[/tex] и [tex]SM=SN=\sqrt{R^2-m^2}[/tex].
Сега [tex]QF=|TF-QT|=|m-\sqrt{R^2-n^2}|[/tex] и аналогично [tex]FN=|n-\sqrt{R^2-m^2}|[/tex].
Сега от правоъгълния триъгълник NQF намираме [tex]a^2=QF^2+FN^2=m^2+R^2-n^2-2m\sqrt{R^2-n^2}+n^2+R^2-m^2-2n\sqrt{R^2-m^2}\\\Right 2(m\sqrt{R^2-n^2}+\sqrt{R^2-m^2})=2R^2-a^2[/tex]
Сега за търсената хорда [tex]PM[/tex] от триъгълник [tex]PMF[/tex] получаваме
[tex]x^2=PF^2+MF^2=(m+\sqrt{R^2-n^2})^2+(n+\sqrt{R^2-m^2})^2=\\m^2+R^2-n^2+n^2+R^2-m^2+2(m\sqrt{R^2-n^2}+n\sqrt{R^2-m^2})=\\2R^2+(2R^2-a^2)=\\4R^2-a^2[/tex].
След коренуване получавеме
[tex]x=\sqrt{4R^2-a^2}[/tex].