показателно уравнение

[waVe]

2^{3x-1}/{2x+1} - 1 =2^{2-x}/{2x+1}

Получава се, ако кожа че [tex]2^1[/tex] - 1 = [tex]2^0[/tex] е единствен случай при който е вярно уравнението, но не съм сигурен дали така се решава.
Ако има някакво друго решение, ще се радвам да ми го споделите или да ме насочите към него

[Реклама]

[_sssss]

[tex]2^{\frac{3x-1}{2x+1}} -1 = 2^{\frac{2-x}{2x+1}}[/tex]

[tex]\normal \frac{3x-1}{2x+1}=t \Leftrightarrow x=\frac{1+t}{3-2t}[/tex]

[tex]\normal 2^t - 1 = 2^{1-t} \\ 2^{2t} - 2^t -2=0 \\ 2^t=2[/tex]

А може и да се съобрази, че лявата страна е растяща, а дясната - намаляваща.

[ганка симеонова]

Добре си се ориентирал. Да разгледаме степенните показатели, които са дробно- линейни функции.
Нека означим [tex]f(x)=\frac{3x-1}{2x+1 } ; g(x)=\frac{2-x}{2x+1 } [/tex]
[tex]f'(x)=\frac{5}{(2x+1)^2 }>0 =>f(x)[/tex] е растяща.
[tex]g(x)=-\frac{5}{(2x+1) } <0=>g(x) [/tex] е намаляваща.
Т. к. основата на двете показателни функции е 2 и е по- голяма от 1=>
[tex]2^{f(x) [/tex] е растяща, а [tex]2^{g(x)} [/tex] е намаляваща. Това означава, че ако разгледаме едно произволно число [tex]x_0<2=>[/tex]
[tex]2^{f(x_0)}-1<1<2^{g(x_0)} [/tex]. Тогава у- то няма да има решение за числа по- малки от 2. Аналогично, за [tex]x_0>2=>2^{f(x_0)}-1>1>2^{g(x_0)}=>[/tex]няма да има решение и за числа по- големи от 2.
С това доказахме, че 2 е единствено решение.

[ганка симеонова]

[martosss]

Може и да се представи като
[tex]2^{\frac{3(x+{1\over 2})-2.5}{2(x+{1\over 2})}}-1=2^{\frac{2.5-(x+{1\over 2})}{2(x+{1\over 2})}}[/tex]
Сега полагаме [tex]2^{\frac{2.5}{2(x+{1\over 2})}}=t>0[/tex].
Получаваме
[tex]{2\sqrt 2\over t}-1={t\over \sqrt 2}\\t^2+t\sqrt 2-4=0\\D=18\Right \\t=\sqrt 2\\\cup\\ t=-2\sqrt 2\N\in D.S.[/tex]

[tex]2^{\frac{2.5}{2(x+{1\over 2})}}= 2^{\frac{1}{2}}\\5=2x+1\\x=2[/tex]