Ирационално(трудно)

[gsinekliev]

Да се намерят всички реални корени на уравнението:
[tex]sqrt{x-3} + sqrt{7-x} = x^2-10x+23[/tex]

Аз полагам[tex] sqrt{x-3} = a; sqrt{7-x} = b[/tex]
Използвам, че [tex]ab = sqrt{-x^2 +10x-21}[/tex]
Така уравнението става:
[tex]a+b = -(a^2b^2-2)[/tex]
[tex]a+b + (ab)^2 = 2(1)[/tex]
От полагането имаме[tex] x = a^2 + 3 = 7-b^2[/tex], тоест [tex](a+b)^2 - 2ab = 4 (2)[/tex]
Полагам [tex]a+b = u, ab=v[/tex] и стигам до системата:

[tex]|u^2 -2v =4[/tex]
[tex]|u+v^2 = 2[/tex]

След решаване чрез заместване стигам до:
[tex]v(v^3-4v-2) = 0[/tex] и забивам на кубичното уравнение.Иначе от v=0 излизат два корена:
x=3 и x=7 които действително са решения.Обаче с другите корени(ако има де) не мога да се оправя.

[Реклама]

[Saposto_MM]

[tex]v^3-4v-2=0[/tex]. [tex]v=ab\le\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{\left(x-3\right)+\left(7-x\right)}{2}=2[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]v\le 2[/tex]. [tex]v^3-4v=2[/tex], [tex]v\left(v^2-4\right)=2[/tex]. [tex]v\ge 0[/tex], [tex]v^2-4\le 0[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]v\left(v^2-4\right)\le 0[/tex]. Уравнението няма решение.

Задачата е от областен кръг за 9-ти клас.

[gsinekliev]

Добре доказано!Доста време се мъчих да го разложа някакси ама не стана, а то имало по-лесен начин.