Помощ за интеграли

[labarone]

Нужна ми е малко помощ за следните интеграли ..... Всяка препоръка и начин на решаване ми е добре дошла, защото съм новак в тази област
Ето и линк към задачите http://file.bg/c23814YEjxn

[Реклама]

[labarone]

Никой ли не може да ми помогне ?

[ferry2]

Аз поне нищо не можах да разбера от този файл. Напиши задачите тук във форума с Latex и ще ти помогнем .

[labarone]

[tex]\int_{}^{ }\frac{1}{x\sqrt{2+x^{2}}[/tex]dx

[tex]\int_{}^{ }\frac{cosx}{5-2cos^{2}x }[/tex]dx

[tex]\int_{}^{ }\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+3x+3} } [/tex]dx

[Spider Iovkov]

Ще ти покажа един пример, подобен на третия, може да успееш да го направиш сама:
[tex]\int{\frac{3x+7}{\sqrt{x^2+6x-1}}}dx[/tex].
Как се решават интеграли изобщо от типа [tex]\int{\frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}dx[/tex]? Прилага се така нареченият метод на интегриране чрез разлагане на събираеми. Тук се стремим да представим подинтегралната функция като съставена от събираеми. Изхождаме от факта, че интеграл от сума на функции е сбор от интегралите на всяка от функциите. Тогава
[tex]\int{\frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}dx=\int{\frac{Ax}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}dx+\int{\frac{B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}dx[/tex].
Връщаме се към задачата. Имаме
[tex]\int{\frac{3x+7}{\sqrt{x^2+6x-1}}}dx=\int{\frac{3x+7}{\sqrt{(x+3)^2-10}}}dx=\int{\frac{3(x+3)-2}{\sqrt{(x+3)^2-10}}}dx[/tex].
Сега вече разделяме на два интеграла:
[tex]\int{\frac{3(x+3)}{\sqrt{(x+3)^2-10}}}dx-\int{\frac{2}{\sqrt{(x+3)^2-10}}}dx[/tex].
В първия интеграл умножаваме и делим на [tex]2[/tex], а от втория изнасяме пред знака на интеграла [tex]2[/tex], ще получим
[tex]\frac{3}{2}\int{\frac{2(x+3)}{\sqrt{(x+3)^2-10}}}dx-2\int{\frac{1}{\sqrt{(x+3)^2-10}}}dx[/tex].
Използвайки, че [tex]f'(x)dx=df(x)[/tex], внасяме в диференциала:
[tex]\frac{3}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{(x+3)^2-10}}}d[(x+3)^2-10]-2\int{\frac{1}{\sqrt{(x+3)^2-10}}}d(x+3)[/tex].
Това вече са таблични интеграли:
[tex]\int{\frac{1}{\sqrt{v}}}dv=2\sqrt{v}+C, \, \int{\frac{1}{\sqrt{v^2+\alpha}}}dv= \ln (v+\sqrt{v^2+\alpha})+C[/tex].
Крайният отговор на задачата е
[tex]3\sqrt{(x+3)^2-10}-2 \ln (x+3+\sqrt{(x+3)^2-10})+C[/tex].

[ferry2]

[tex]\int_{}^{ }\frac{\cos x}{5-2\cos ^{2}x }dx[/tex] полагаме:
[tex]\tan \frac{x}{2}=t \Rightarrow x=2\arctan t \Rightarrow \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\Rightarrow dx=\frac{2dt}{1+t^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow 2\int \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\left[5-2\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2\right].(1+t^2)}dt=2\int \frac{1-t^2}{\frac{5(1+t^2)^2-2(1-t^2)^2}{\cancel{(1+t^2)^2}}.\cancel{(1+t^2)^2}}dt=2\int \frac{1-t^2}{3t^4+14t^2+3}dt[/tex]
Сега прилагаме субституция на Хорнер:[tex]t^2=u-\frac{14}{6}=u-\frac{7}{3}[/tex]

[tex]\frac{2}{3}\int \frac{10-3u}{3(u-\frac{7}{3})^2+14(u-\frac{7}{3})+3}du=\frac{2}{3}\int \frac{10-3u}{3u^2-\frac{254}{3}}du=2\int \frac{10-3u}{9u^2-254}du=20\int \frac{du}{9u^2-254}-6\int \frac{u}{9u^2-254}du=....[/tex]

Оттук би трябвало да можеш да продължиш и сама

За третия интеграл също може да приложиш субституция на Хорнер.