Едно уравнение от 5-та степен.

[Добромир Глухаров]

Да се намерят всички реални корени на уравнението:

[tex]16x^5-20x^3+5x-1=0[/tex]

[Реклама]

[martosss]

От Хорнер имаме х=1 е решение, тогава разлагаме до
[tex](x-1)(16x^4+16x^3-4x^2-4x+1)=0[/tex]
Сега или х=1, или делим на 4x² и получаваме
[tex]4\left(x^2+\frac{1}{16x^2}\right)+4\left(x-\frac{1}{4x}\right)-1=0[/tex]
Полагаме [tex]x-\frac{1}{4x}=t[/tex]
И така нататък.

[Добромир Глухаров]

[ганка симеонова]

кажи

[Добромир Глухаров]

Полагам [tex]x=cos(t).[/tex]

След преобразуване от уравнението се получава: [tex]cos(5t)=1.[/tex]

Следователно: [tex]x_{k+1}=cos(\frac{2k\pi }{5 }) .[/tex]

[tex]x_1=1,[/tex]
[tex]x_2=x_5=cos(\frac{2\pi }{5 })=\frac{\sqrt{5}-1 }{4 } ,[/tex]
[tex]x_3=x_4=cos(\frac{4\pi }{5 })=\frac{-1-\sqrt{5} }{4 }.[/tex]

[ганка симеонова]

Не е вярно по принцип, защото за х нямаш ограничение, в тази задача. Марто писа, кога може да полагаш на син или кос.
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=11426

За да го ползваш, докажи че х се мени в [-1;1]

[Пафнутий]

Щом с това полагане е намерил 5 корена, то е ясно, че това са всички корени и следователно, че [tex]x[/tex] се мени в този интервал...

[ганка симеонова]

[Пафнутий]

Може лесно да се заобиколи като напишем, че ще разгледаме как се мени функцията при x, лежащо в интервала [-1,1] и след като в него има 5 корена, то те ще са и всичките корени.

[ганка симеонова]

[Добромир Глухаров]

[ганка симеонова]

ето, това не ми харесва. имаш само 3 реални корена, които са от нечетна кратност. при теб са се получили два двойни. това е различно, поне от гледна точка на графиката.

[ганка симеонова]

ето

[martosss]

Да, може да се заобиколи, разбира се.

За целта, обаче, трябва да сме сигурни, че уравнението има поне 1 решение в интервала, който разглеждаме с това полагане. В противен случай след полагане ще получим, че Н.Р. и може ,ако не сме съобразителни, да си помислим, че уравнението не е изпълнено за всяко х(а не само за разглеждания интервал, примерно от -1 до 1 ако сме положили х=cost )

А това, че в случая всички корени са в интервала от -1 до 1, е чист късмет. Но дори и те да не са(примерно корените да са 1, 1/2, -1/2 и 3), то може след като намерим първите 2 или 3 корена да се върнем в първоначалното уравнение и да го разложим. При това за горните 4 корена ще получим (x-1)(x+½)(x-½)(x-3)=0, откъдето очевидно -> х=3.

Дори и с този метод да намерим 2, или 1 корен, това пак може да ни е от полза, примерно ако функцията ни е от 4-та или 3-та степен, така че да остане квадратен тричлен, който лесно се обработва.

[ганка симеонова]

леле , ужас. взимам си думите назад.
баш двойни са.

[Добромир Глухаров]

[ганка симеонова]

така е добре