Регистрирайте сеРегистрирайте се

Неравенство без условие за а


 
   Форум за математика Форуми -> Неравенства
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 3:44 pm    Заглавие: Неравенство без условие за а

Да се докаже, че

[tex]a^8-a^5+a^2-a+1>0 [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
baroveca
Напреднал


Регистриран на: 26 Feb 2009
Мнения: 347

Репутация: 16.2Репутация: 16.2
гласове: 14

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 4:22 pm    Заглавие:

Само искам да попитам това неравенство няма решение,нали?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 4:24 pm    Заглавие:

Laughing , напротив, трябва да се докаже, че за всяко а има решение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 6:54 pm    Заглавие:

ганка симеонова написа:
Да се докаже, че

[tex]a^8-a^5+a^2-a+1>0 [/tex]

За а<0 уравнението е очевидно изпълнено, защото всяко едно от събираемите става положтилено.
Нека a>0.
Освен това при а=1 имаме 1-1+1-1+1=1>0.
Нека a положително и различно от 1(за да можем да умножаваме по (a-1) ).
[tex]a^8-a^5+a^2-a+1>0 \;\;\;\; \backslash +(a^7+a^6+a^4+a^3)[/tex]
[tex]a^8+a^7+a^6-a^5+a^4+a^3+a^2-a+1>a^7+a^6+a^4+a^3[/tex]
Прегрупираме ги, така че получаваме:
[tex]\underbrace{(a^8-a^7+a^6-a^5+a^4-a^3+a^2-a+1)}_{A}+\underbrace{(a^7-a^6-a^4+a^3)}_{B}>0[/tex]
Сега поотделно ще докажем, че A>0 и B>0.

[tex]B=a^3(a^4-a^3-a+1)=a^3(a^3(a-1)-(a-1))=a^3(a-1)(a^3-1)=a^3(a-1)^2(a^2-a+1)=a^3(a-1)^2\left(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)>0[/tex]

[tex]A=\frac{(a^8-a^7+a^6-a^5+a^4-a^3+a^2-a+1)}{1}*\frac{a-1}{a-1}=\frac{a^9-1}{a-1}[/tex]
При a>1 имаме, че A>0(понеже едновременно числителят и знаменателят са положителни.
При a<1 имаме отново, че A>0, защото този път едновременно числителят и знаменателят са отрицателни.
Тогава за всяко а имаме A>0
С това показахме, че [tex]A>0,B>0\Right A+B>0[/tex]. Smile

Само за информация, полином от вида
[tex]t^{2k}+t^{2k-1}+t^{2k-2}+t^{2k-3}+\dots +1[/tex] или от вида
[tex]t^{2k}-t^{2k-1}+t^{2k-2}-t^{2k-3}+\dots +1[/tex]

(имат алтернативна смяна на знака, като се започва от четна степен със знак + и се свършва с +1, а всички коефициенти са 1)
се наричат непълни квадрати и са винаги положителни.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 6:57 pm    Заглавие:

Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Sep 04, 2009 9:17 am    Заглавие: Re: Неравенство без условие за а

ганка симеонова написа:
Да се докаже, че

[tex]a^8-a^5+a^2-a+1>0 [/tex]
При отрицателно [tex]a[/tex] е очевидно, затова нека [tex]a>0[/tex]. Трябва да докажем, че [tex]a^8+a^2+1>a^5+a[/tex]. От СА-СГ имаме [tex]a^8+a^2\ge 2a^5[/tex] и [tex]a^2+1\ge 2a[/tex]. Събираме ги и получаваме [tex]a^8+2a^2+1\ge 2(a^5+a)[/tex]. Достатъчно е да докажем, че [tex]a^5+a>a^2\Rightarrow a^4+1>a[/tex]. Сега, ако [tex]a>1\Rightarrow a^4>a\Rightarrow a^4+1>a[/tex], а в противен случай [tex]a<1\Rightarrow a<1+a^4[/tex], с което н-вото е доказано Wink
ПП Сега забелязвам, че a>0 дори не ни трябва,
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Неравенства Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.