Неравенство без условие

[martosss]

Ако [tex]a,b,c\in R^+[/tex], то докажете, че е в сила неравенството
[tex]a^3+c^3+2a^2b+ab^2\ge 4abc[/tex].

Източник - ММ

[Реклама]

[ганка симеонова]

ПП. Хич ме няма по неравенствата , затова не се сърдете много
Ето и моето "решение"
Нека прехвърлим всичко в ляво и разгледаме лявата страна като квадратен тричлен относно b.
Тогава ще искаме
[tex]ab^2+2(a^2-2ac)b+a^3+c^3\ge 0 [/tex]
Т.к. [tex]a>0=>D\le 0 [/tex]
[tex]D=4a^2c^2-4a^3c-ac^3=-ac(c-2a)^2[/tex], което очевидно е неотрицателно.
Тогава равенство ще имаме при [tex]c=2a=>b=\frac{2ac-a^2}{a } =3a [/tex]

[martosss]

Браво, наистина рулирате!

[martosss]

Браво, наистина сте добре,или аз не съм, а най вероятно и двете!

[ганка симеонова]

[martosss]

ами добре, делим на ас, след което получаваме:
[tex]\frac{a^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{2ab}{c}+\frac{b^2}{c}\ge 4b[/tex]
[tex]\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge 4b (1)[/tex]
Сега прилагаме Хубавото неравенство и получаваме
[tex]\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge \frac{(a+b+c)^2}{a+c}[/tex]
Остава да докажем, че
[tex](a+b+c)^2\ge 4b(a+c)[/tex]
[tex]b^2+(a+c)^2+2b(a+c)\ge 4b(a+c)[/tex]
[tex]b^2-2b(a+c)+(a+c)^2\ge 0[/tex]
[tex](b-a-c)^2\ge 0[/tex]
Готово.

Принпицно неравенството беше дадено във формата на (1), така че най-очевидното беше да приложим Хубавото неравенство.

[ганка симеонова]