Регистрирайте сеРегистрирайте се

Дължина


 
   Форум за математика Форуми -> Геометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 11:37 am    Заглавие: Дължина

Окръжност с диаметър средната отсечка [tex]MN; M\in AC;N\in BC [/tex] пресича страните AC и BC в точки Р и Q.
Да се изрази дължината на PQ чрез страните а, b, c на триъгълника.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 11:50 am    Заглавие:

[tex]PQ=\frac{(a^2+b^2-c^2)c}{4ab}=\frac{c\cos\gamma}{2}[/tex] ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 12:19 pm    Заглавие:

martosss написа:
[tex]PQ=\frac{(a^2+b^2-c^2)c}{4ab}=\frac{c\cos\gamma}{2}[/tex] ?

Марто, докога ще пишеш само отговори? Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 12:20 pm    Заглавие:

martosss написа:
[tex]PQ=\frac{(a^2+b^2-c^2)c}{4ab}=\frac{c\cos\gamma}{2}[/tex] ?
Толкова е и не ти трябва никаква тригонометрия Wink
Ясно е, че [tex]\Delta MNC\approx \Delta QPC \Rightarrow PQ=\frac{c.CQ}{b}(*)[/tex]. Понеже [tex]\angle MQC = \frac{\pi}{2}\Rightarrow MQ^2+CQ^2=CM^2(**)[/tex]. Аналогично [tex]MQ^2=MN^2-QN^2[/tex], т.е [tex](**)[/tex] става [tex]MN^2-QN^2+CQ^2=CM^2\Rightarrow MN^2-(CN-CQ)^2+CQ^2=CM^2\Rightarrow MN^2-CN^2+2CN.CQ=CM^2\Rightarrow CQ=\frac{a^2+b^2-c^2}{4a}[/tex] и сега използваме [tex](*)[/tex], за да достигнем до [tex]PQ=\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{4ab}[/tex].


Последната промяна е направена от Пафнутий на Thu Sep 03, 2009 12:29 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 12:26 pm    Заглавие:

Лесно съобразяваме, че [tex]MN=\frac{c}{2}[/tex] и [tex]MN||AB[/tex]. Ако [tex]\angle BAC=\alpha, \, \angle ABC=\beta[/tex], то [tex]\angle NMP=\alpha, \, \angle MNQ=\beta[/tex]. Понеже [tex]\angle MNP=90^\circ-\alpha, \, \angle NMQ=90^\circ-\beta[/tex], то [tex]\angle PMQ=\angle PNQ=\alpha+\beta-90^\circ[/tex] (като вписани). Сега [tex]sin(90^\circ-\alpha)=\frac{MP}{MN} \Leftrightarrow MP=\frac{c}{2} cos\alpha[/tex] и [tex]sin(90^\circ-\beta)=\frac{QN}{MN} \Leftrightarrow QN=\frac{c}{2} cos\beta[/tex]. Също така [tex]\tan(\alpha+\beta-90^\circ)=\frac{PF}{MP} \Leftrightarrow PF=MP \tan(\alpha+\beta-90^\circ) \Leftrightarrow PF=\frac{c}{2} cos\alpha \tan(\alpha+\beta-90^\circ)[/tex].
Но [tex]\tan(\alpha+\beta-90^\circ)=\tan(180^\circ-\gamma-90^\circ)=\tan(90^\circ-\gamma)=\cot\gamma[/tex].
Ясно е, че [tex]\triangle MNF \sim \triangle PQF \Rightarrow \frac{MN}{PQ}=\frac{NF}{QF}[/tex].
Лесно намираме [tex]NF=\frac{c}{2} cos\beta .\frac{1}{cos(\alpha+\beta-90^\circ)} \Leftrightarrow NF=\frac{c cos\beta}{2 sin\gamma}[/tex] и [tex]QF=\frac{c}{2} cos\beta \cot\gamma[/tex]. Сега от пропорцията вече е ясно, че [tex]PQ=\frac{c cos\gamma}{2} \Leftrightarrow PQ=\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{4ab}[/tex]. Тук [tex]F[/tex] е пресечната точка на [tex]NP[/tex] и [tex]MQ[/tex].


Последната промяна е направена от Spider Iovkov на Thu Sep 03, 2009 12:36 pm; мнението е било променяно общо 2 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 12:29 pm    Заглавие:

Тъй като [tex]MN[/tex] е средна отсечка, то [tex]MN||AB, MN=\frac{1}{2}{AB}=\frac{c}{2}[/tex]. Тогава [tex]\angle BAM=\angle NMC=\alp[/tex]
Освен това [tex]MNQP[/tex] е вписан. Оттук [tex]\angle NMC=\angle PQC=180^\circ-\angle NQP=\alp[/tex].
Сега [tex]\Del MNC\approx \Del QPC\Right \frac{PQ}{MN}=\frac{PC}{NC}[/tex].
Обаче понеже [tex]MN[/tex] е диаметър на окръжността и точка [tex]P\in k[/tex], то [tex]\angle MPN=90^\circ=\angle NPC[/tex].
Тогава [tex]\frac{PC}{NC}=\cos\angle PCN=\cos\gamma[/tex].
Сега получихме, че [tex]\frac{PQ}{MN}=\frac{PC}{NC}=\cos\gamma\Right PQ=MN\cos\gamma =\frac{c\cos\gamma}{2}[/tex]. Wink

Използвам Косинус просто за по-лесно изразяване. Wink Първоначалното ми решение, разбира се, не беше такова, а беше с изразяване на РС=МС-МР=(b-c cosα)/2 и от кос. теорема изразявам кос а. Wink

Г-жо, надявам се да сте доволна - имате 3 решения! Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 2:03 pm    Заглавие:

martosss написа:


Г-жо, надявам се да сте доволна - имате 3 решения! Laughing


Доволна съм, но ако трябва да съм честна най ме кефи решението на Слави Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 2:08 pm    Заглавие:

Неговото е най-просто, мойто е най-кратко, а на Емо е най-сложно и дълго, вие преценете. Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 6:42 pm    Заглавие:

Aко АА1 и ВВ1 са височини, известен факт е че СА1В1 е подобен на СВА с коефициент [tex]k=\cos C[/tex], т.е. [tex]A1B1=c\cos C.[/tex].
При хомотетия с център С и коефициент 2, PQ се избразява в В1А1 (защо?). Значи [tex]2PQ=A_1B_1.[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 6:59 pm    Заглавие:

И аз си го мислех, че има нещо такова, само че не ми е удобно да пиша, че е известен факт, че....(в повечето случаи изобщо не е всеизвестно Very Happy ), пък и не помня доказателството какво е, още повече в хомотетията никакъв ме нямаEmbarassed , но и така може.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Sep 04, 2009 8:14 am    Заглавие:

martosss написа:
И аз си го мислех, че има нещо такова, само че не ми е удобно да пиша, че е известен факт, че....(в повечето случаи изобщо не е всеизвестно Very Happy ), пък и не помня доказателството какво е, още повече в хомотетията никакъв ме нямаEmbarassed , но и така може.

Това, че двата триъгълника са подобни наистина е известен факт.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Геометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.