Дължина

[ганка симеонова]

Окръжност с диаметър средната отсечка [tex]MN; M\in AC;N\in BC [/tex] пресича страните AC и BC в точки Р и Q.
Да се изрази дължината на PQ чрез страните а, b, c на триъгълника.

[Реклама]

[martosss]

[tex]PQ=\frac{(a^2+b^2-c^2)c}{4ab}=\frac{c\cos\gamma}{2}[/tex] ?

[ганка симеонова]

[Пафнутий]

[Spider Iovkov]

Лесно съобразяваме, че [tex]MN=\frac{c}{2}[/tex] и [tex]MN||AB[/tex]. Ако [tex]\angle BAC=\alpha, \, \angle ABC=\beta[/tex], то [tex]\angle NMP=\alpha, \, \angle MNQ=\beta[/tex]. Понеже [tex]\angle MNP=90^\circ-\alpha, \, \angle NMQ=90^\circ-\beta[/tex], то [tex]\angle PMQ=\angle PNQ=\alpha+\beta-90^\circ[/tex] (като вписани). Сега [tex]sin(90^\circ-\alpha)=\frac{MP}{MN} \Leftrightarrow MP=\frac{c}{2} cos\alpha[/tex] и [tex]sin(90^\circ-\beta)=\frac{QN}{MN} \Leftrightarrow QN=\frac{c}{2} cos\beta[/tex]. Също така [tex]\tan(\alpha+\beta-90^\circ)=\frac{PF}{MP} \Leftrightarrow PF=MP \tan(\alpha+\beta-90^\circ) \Leftrightarrow PF=\frac{c}{2} cos\alpha \tan(\alpha+\beta-90^\circ)[/tex].
Но [tex]\tan(\alpha+\beta-90^\circ)=\tan(180^\circ-\gamma-90^\circ)=\tan(90^\circ-\gamma)=\cot\gamma[/tex].
Ясно е, че [tex]\triangle MNF \sim \triangle PQF \Rightarrow \frac{MN}{PQ}=\frac{NF}{QF}[/tex].
Лесно намираме [tex]NF=\frac{c}{2} cos\beta .\frac{1}{cos(\alpha+\beta-90^\circ)} \Leftrightarrow NF=\frac{c cos\beta}{2 sin\gamma}[/tex] и [tex]QF=\frac{c}{2} cos\beta \cot\gamma[/tex]. Сега от пропорцията вече е ясно, че [tex]PQ=\frac{c cos\gamma}{2} \Leftrightarrow PQ=\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{4ab}[/tex]. Тук [tex]F[/tex] е пресечната точка на [tex]NP[/tex] и [tex]MQ[/tex].

[martosss]

Тъй като [tex]MN[/tex] е средна отсечка, то [tex]MN||AB, MN=\frac{1}{2}{AB}=\frac{c}{2}[/tex]. Тогава [tex]\angle BAM=\angle NMC=\alp[/tex]
Освен това [tex]MNQP[/tex] е вписан. Оттук [tex]\angle NMC=\angle PQC=180^\circ-\angle NQP=\alp[/tex].
Сега [tex]\Del MNC\approx \Del QPC\Right \frac{PQ}{MN}=\frac{PC}{NC}[/tex].
Обаче понеже [tex]MN[/tex] е диаметър на окръжността и точка [tex]P\in k[/tex], то [tex]\angle MPN=90^\circ=\angle NPC[/tex].
Тогава [tex]\frac{PC}{NC}=\cos\angle PCN=\cos\gamma[/tex].
Сега получихме, че [tex]\frac{PQ}{MN}=\frac{PC}{NC}=\cos\gamma\Right PQ=MN\cos\gamma =\frac{c\cos\gamma}{2}[/tex].

Използвам Косинус просто за по-лесно изразяване. Първоначалното ми решение, разбира се, не беше такова, а беше с изразяване на РС=МС-МР=(b-c cosα)/2 и от кос. теорема изразявам кос а.

Г-жо, надявам се да сте доволна - имате 3 решения!

[ганка симеонова]

[martosss]

Неговото е най-просто, мойто е най-кратко, а на Емо е най-сложно и дълго, вие преценете.

[r2d2]

Aко АА1 и ВВ1 са височини, известен факт е че СА1В1 е подобен на СВА с коефициент [tex]k=\cos C[/tex], т.е. [tex]A1B1=c\cos C.[/tex].
При хомотетия с център С и коефициент 2, PQ се избразява в В1А1 (защо?). Значи [tex]2PQ=A_1B_1.[/tex]

[martosss]

И аз си го мислех, че има нещо такова, само че не ми е удобно да пиша, че е известен факт, че....(в повечето случаи изобщо не е всеизвестно ), пък и не помня доказателството какво е, още повече в хомотетията никакъв ме няма , но и така може.

[ганка симеонова]