Регистрирайте сеРегистрирайте се

Равнобедрен триъгълник и две лица


 
   Форум за математика Форуми -> Триъгълници
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Wed Sep 02, 2009 11:16 pm    Заглавие: Равнобедрен триъгълник и две лица

В [tex]\triangle ABC[/tex], за който [tex]AB=BC[/tex], е построена ъглополовящата [tex]AD[/tex]. Да се намери [tex]AC[/tex], ако [tex]S_{\triangle ABD}=S_{1}[/tex] и [tex]S_{\triangle ADC}=S_{2}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 12:25 am    Заглавие:

(делим лицата)[tex]\normal \frac{AB}{AC}=\frac{S_1}{S_2}[/tex]

sinT ABC [tex]\normal \Rightarrow \frac{AB}{sin\alpha}=\frac{AC}{sin\beta} \Rightarrow sin\beta = \frac{ACsin\alpha}{AB}[/tex]

[tex]\normal AB^2 sin\beta = 2(S_1 + S_2) \Rightarrow \frac{AC^2 sin\alpha S_1}{S_2}=2(S_1 + S_2)[/tex]

sinT ABD [tex]\Rightarrow \frac{\frac{AB \cdot S_1}{S_1+S_2}}{sin\alpha/2}=\frac{AB}{sin3\alpha/2} \Leftrightarrow cos\alpha =\frac{S_2}{2S_1}[/tex]

[tex]\frac{AC^2 \sqrt{4S_1 ^2 - S_2 ^2}}{2S_2}=2(S_1 + S_2)[/tex]

[tex]AC=\sqrt{\frac{4(S_1 + S_2)S_2}{\sqrt{4S_1 ^2 - S_2 ^2}}[/tex]

Малко длъжко иде, пък и като си гледам отговора... Laughing Засега ще се оправдая с късния час!

Edit: Поправено!


Последната промяна е направена от _sssss на Thu Sep 03, 2009 3:30 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 8:35 am    Заглавие:

Не е това, но си много близко, Smile . Май подозирам къде си сбъркала, Laughing . Условието е [tex]AB=BC[/tex]!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 9:12 am    Заглавие:

Би трябвало 2 уравнения да свършат работа:
[tex]\frac{x}{y}=\frac{S_1}{S_2}[/tex]

[tex]S_1+S_2=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
където х и у са страните.
От първото изразяваме бедрото, така че ни остава само основата.
намираме полупериметърът и готово.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 9:29 am    Заглавие:

Мартос, без Херон, Laughing , звучи ужасно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 9:34 am    Заглавие:

получих [tex]AC=\frac{2\sqrt{S_2^2+S_1S_2}}{\sqrt[4]{4S_1^2-S_2^2}}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 9:49 am    Заглавие:

Това е, Very Happy .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 10:57 am    Заглавие:

Добре, ти знаеш ли друг начин да се реши? (ако знаеш ми напиши само начина, а не цялото решение, имай милост към себе си! Laughing )
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 11:02 am    Заглавие:

Във всеки случай в него не фигурира Херон, Smile . Я помисли още малко, Very Happy .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 11:16 am    Заглавие:

Означаваме [tex]AB=S_1y; AC=S_2y; BD=S_1x;DC=S_2x;\angle A=\alpha => [/tex]

[tex]AB.BDsin2\alpha +AC.CD.sin\alpha =AB.BC.sin2\alpha [/tex]

Делим на [tex]xysin\alpha [/tex] и намираме [tex]cos\alpha [/tex]

После е ясно Wink

това е начина на звездите
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 11:19 am    Заглавие:

не знам, но едното у-е със сигурност трябва да ти е S1/S2=AB/AC
Другото... ето откъде - имаме от син. т. AB/AC=1/2cosa, където а е ъгълът при бедрото.
Повдигаме на квадрат и изразяваме син²!
После S=S1+S2=AB*AC*sina/2.
Повдигаме и това на квадрат, за да получим син².
С това имаме 3 у-я и 3 неизвестни, остава само да ги решим.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 11:35 am    Заглавие:

[tex]AC=x, \, AB=BC=y; \, AD=l, \angle BAD=\angle CAD=\frac{\alpha}{2}[/tex]

[tex]\begin{array}{||}\frac{l x sin{\frac{\alpha}{2}}}{2}=S_{2} \\ \frac{l y sin{\frac{\alpha}{2}}}{2}=S_{1} \end{array} \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{S_{2}}{S_{1}} \, (*)[/tex]

[tex]\angle ADC=180^\circ-\frac{3\alpha}{2} \Rightarrow \angle ADB=\frac{3\alpha}{2}[/tex]

[tex]\begin{array}{||}\triangle ADB \Rightarrow AD=\frac{y sin 2\alpha}{sin{\frac{3\alpha}{2}}} \\ \triangle ADC \Rightarrow AD=\frac{x sin\alpha}{sin{\frac{3\alpha}{2}}} \end{array} \Rightarrow 2y \cancel {sin\alpha} cos\alpha = x \cancel {sin\alpha} \Leftrightarrow 2 cos\alpha=\frac{x}{y} \Leftrightarrow 2 cos\alpha=\frac{S_{2}}{S_{1}} \Rightarrow sin\alpha=\frac{\sqrt{4S_{1}^2-S_{2}^2}}{2S_{1}}[/tex]

[tex]S_{\triangle ABC}=S_{1}+S_{2} \Leftrightarrow xy sin\alpha = 2(S_{1}+S_{2}) \, (**)[/tex]

Сега вече е ясно, че [tex]x=\frac{2\sqrt{S_{1}S_{2}+S_{2}^2}}{\sqrt[4]{4S_{1}^2-S_{2}^2}}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Thu Sep 03, 2009 3:28 pm    Заглавие:

А-а-а, този път правилно съм си прочела условието. Laughing Отговорът се различава, защото съм написала [tex]\normal \sqrt{4}=\sqrt{2}[/tex] в знаменателя на [tex]\normal sin\alpha[/tex]. Поправям! Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Триъгълници Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.