Изследване на функции

[b1ck0]

Да се изследва функцията и да се построи графиката и ...
[tex]f(x) = x^3 + 9x^2 - 21x + 2[/tex]

[tex]f'(x) = 3x^{2} +18x - 21[/tex]
[tex]3x^{2} +18x - 21 = 0[/tex]
[tex]x^{2} + 6x - 7 = 0[/tex]
[tex]x_{1;2} = \frac{-6-sqrt{64}}{2} \Rightarrow x_{1} = -7, x_{2} = 1 [/tex]
Щом знака пред най-високата степен на неизвестното е положителен, то фукнцията има минимум.

От числовата ос се вижда че минимума на функцията е във интервала [tex] (-7;1) [/tex] стойността на x, за който се достига минимум е [tex]x_{0} = \frac{-b}{2a}= -3[/tex] (върха на параболата), a [tex]f(x_{0}) = 119 [/tex]


Е те това нещо вярно ли е ?

[Реклама]

[_sssss]

Лок. минимум на f(x) е при x=1, а лок. максимум при x=-7. Това са точките, където производната сменя знака си. Ти си си го направил както трябва, само без последната част. -b/2a в случая е минималната стойност на f'(x), не на f(x).

[Flame]

Не, не е вярно Емо са му любими и съм сигурен, че ще направи прецизно изследване.

[tex] max \Rightarrow f(-7) [/tex]
[tex] min \Rightarrow f(1) [/tex]

[Spider Iovkov]

[tex]f(x)=x^3+9x^2-21x+2[/tex]

Ще използваме следния план за изследване:

І. Дефиниционно множество
ІІ. Четност, нечетност
ІІІ. Периодичност
ІV. Локални екстремуми
V. Монотонност
VІ. Вдлъбнатост и изпъкналост
VІІ. Построяване на графиката и корени на уравнение

И З С Л Е Д В А Н Е

І. Очевидно [tex]{\cyr D.M.}[/tex] е [tex]x\in R[/tex].
ІІ. Понеже [tex]f(-x)=-x^3+9x^2+21x+2[/tex] и [tex]f(x) \neq f(-x), \, f(-x) \neq -f(x)[/tex], то функцията не е нито четна, нито нечетна.
ІІІ. Функцията е непериодична.
ІV. Ясно е, че [tex]f'(x)=3x^2+18x-21[/tex]. За да определим екстремумите, ще използваме единствено първа производна:
[tex]\begin{array}{||}f'(x)>0 \\ f'(x)<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x^2+6x-7>0 \\ x^2+6x-7<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}(x-1)(x+7)>0 \\ (x-1)(x+7)<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x\in (-\infty;-7) \cup (1;+\infty) \\ x\in (-7;1) \end{array}[/tex].
Сега се вижда, че производната сменя знака си от [tex]+[/tex] в [tex]-[/tex] съответно в интервалите [tex](-\infty;-7)[/tex] и [tex](-7;1)[/tex]. Тогава в точката [tex]x_{0}=-7[/tex] функцията има локален максимум [tex]\ - \ f_{\max}=f(-7)=247[/tex]. Аналогично тя сменя знака си от [tex]-[/tex] в [tex]+[/tex] от интервала [tex](-7;1)[/tex] в интервала [tex](1;+\infty) \ - \[/tex] в точката [tex]x_{0}=1[/tex] функцията има локален минимум [tex]\ - \ f_{\min}=f(1)=-9[/tex].
V. Монотонноста се определя лесно: [tex]f'(x)>0 \Leftrightarrow f(x) \nearrow; \, f'(x)<0 \Leftrightarrow f(x) \searrow[/tex]. В предишната точка определихме знаците на производната в трите интервала, тогава [tex]f(x) \nearrow, \, x\in (-\infty;-7) \cup (1;+\infty)[/tex] и [tex]f(x) \searrow, \, x\in (-7;1)[/tex].
VІ. Вдлъбнатостта (съответно изпъкналостта) се определя от неравенството [tex]f''(x)<0[/tex] (съответно [tex]f''(x)>0[/tex]), където [tex]f''(x)[/tex] е втората производна. В случая [tex]f''(x)=6x+18=6(x+3)[/tex]. Сега
[tex]\begin{array}{||}f''(x)>0 \\ f''(x)<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x>-3 \\ x<-3 \end{array} \ - \[/tex] или при [tex]x\in (-3;+\infty)[/tex] функцията е изпъкнала, а при [tex]x\in (-\infty;-3) \ - \[/tex] вдлъбната.
VІІ. Понеже [tex]\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty[/tex] и [tex]\lim_{x\to -7}=247[/tex], то уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има един корен [tex]x_{1} \in (-\infty;-7)[/tex]. От [tex]\lim_{x\to -7}f(x)=247[/tex] и [tex]\lim_{x\to 1}f(x)=-9[/tex] следва, че [tex]f(x)=0[/tex] има още един корен [tex]x_{2}\in (-7;1)[/tex]. По същия начин [tex]\ - \[/tex] от [tex]\lim_{x\to 1}f(x)=-9[/tex] и [tex]\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty[/tex] следва, че [tex]f(x)=0[/tex] има и трети корен [tex]x_{3}\in (1;+\infty)[/tex]. Графиката е на картинката, .