Лице на правоъгълен триъгълник

[Grievery]

Намерете лицето на правоъгълен триъгълник ABC ([tex]\gamma =90^\circ[/tex]) по дадени:
а) страна BC=a и полупериметър p
б) ъгъл BAC=[tex]\alpha[/tex] и полупериметър p
Някакви идеи? Благодаря предварително за помощта!
* Трябва да бъде решена с материал за 10 клас.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

а) Нека [tex]AC=x, \, AB=y[/tex]. Тогава трябва да е изпълнена системата
[tex]\begin{array}{||}a+x+y=2p \\ a^2+x^2=y^2 \end{array}[/tex],
откъдето [tex]x=2p-a-y \Rightarrow a^2+[(2p-a)-y]^2=y^2[/tex]. Ще решим това уравнение: [tex]a^2+(2p-a)^2-2y(2p-a)+\cancel {y^2}= \cancel {y^2} \Leftrightarrow a^2+(2p-a)^2=2y(2p-a) \Leftrightarrow y=\frac{a^2+(2p-a)^2}{2(2p-a)}[/tex].
Сега определяме и другата величина: [tex]x=2p-a-\frac{a^2+(2p-a)^2}{2(2p-a)} \Leftrightarrow x=\frac{2(2p-a)^2-a^2-(2p-a)^2}{2(2p-a)} \Leftrightarrow x=\frac{(2p-a+a)(2p-a-a)}{2(2p-a)} \Leftrightarrow x=\frac{2p(p-a)}{2p-a}[/tex].
Сега вече е ясно, че [tex]S_{\triangle ABC}=\frac{xy}{2} \Leftrightarrow S_{\triangle ABC}=\frac{ap(p-a)}{2p-a}[/tex].

б) Аналогично на (а) [tex]\ - \ AC=x, \, BC=y, \, AB=\sqrt{x^2+y^2}[/tex]. Достигаме до системата
[tex]\begin{array}{||}x+y+\sqrt{x^2+y^2}=2p \\ \frac{x}{y}=\tan\alpha \end{array}[/tex].
От второто уравнение имаме [tex]x=y \tan\alpha[/tex]. Заместваме в първото и получаваме:
[tex]y \tan\alpha +y+\sqrt{(y \tan\alpha)^2+y^2}=2p \Leftrightarrow \sqrt{(y \tan\alpha)^2+y^2}=2p-(y \tan\alpha + y) \Leftrightarrow[/tex]
[tex](y \tan\alpha)^2+y^2=4p^2-4p(y \tan\alpha+y)+(y \tan\alpha +y)^2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow y^2 \tan\alpha -2py(1+\tan\alpha)+2p^2=0 \Leftrightarrow y_{1,2}=\frac{p(sin\alpha+cos\alpha \pm 1)}{sin\alpha}[/tex].
Сега остава да се съобрази коя от двете стойности остава като решение и да се намери лицето.

[Grievery]

Благодаря много!

[Grievery]

Само един въпрос... на а) как така лицето е катет по хипотенуза върху 2?
* Оправих се, просто техническа грешка, написано е [tex]\frac{xy}{ 2} [/tex] вместо [tex]\frac{xa}{ 2} [/tex]. Иначе отговорът е верен. Още веднъж благодаря много!

[Grievery]

Добре... получих твоя отговор, но как да съобразя коя от двете стойности на y да взема?
[tex] y^{2 }tan\alpha -2py(1+tan\alpha )+2p^{2 }=0[/tex]
[tex]D=p^{2 }(1+tan\alpha )^{2 }-2p^{2 }tan\alpha [/tex]
[tex]D=p^{2 }+\cancel {2p^{2 }tan\alpha} +p^{2 }tan^{2 }\alpha -\cancel{2p^{2 }tan\alpha }[/tex]
[tex]D=p^{2 }(1+tan^{2 }\alpha )=\frac{p^{2 }}{ cos^{2 }\alpha } [/tex]
[tex]y_{1,2 }=\frac{p(1+tan\alpha) \pm \frac{p}{cos\alpha } }{tan\alpha } [/tex]
[tex]y_{1,2 }=\frac{pcos\alpha (1+tan\alpha) \pm p}{\cancel cos\alpha } .\frac{\cancel cos\alpha }{sin\alpha } [/tex]
[tex]y_{1,2 }=\frac{p(cos\alpha +sin\alpha \pm 1)}{sin\alpha } [/tex]
Благодаря предварително!

[Spider Iovkov]

[tex]D=[-2p(1+ \tan\alpha)]^2-4.2p^2. \tan\alpha \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow D=4p^2(1+\tan\alpha)^2-4.2p^2. \tan\alpha \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow D=4p^2(1+\cancel {2 \tan\alpha} + \tan^2 \alpha -\cancel {2 \tan\alpha}) \Leftrightarrow[/tex]

[tex] \Leftrightarrow D=\frac{4p^2}{cos^2\alpha} \Leftrightarrow D=(\frac{2p}{cos\alpha})^2[/tex]

[ганка симеонова]

б)[tex]a=c.sin\alpha ; b=c.cos\alpha =>2p=c(sin\alpha +cos\alpha +1)=>c=\frac{2p}{sin\alpha +cos\alpha +1 } =>S=\frac{c^2sin\alpha cos\alpha }{2 } [/tex]
Само замести с с неговото равно.

[Grievery]

Благодаря много на всички!

[Grievery]

Трябва да стигна до следния отговор:

[tex]S_{\Delta ABC }=\frac{p^{2 }cos\alpha tg\frac{\alpha }{2 }}{sin^{2 }(45^\circ -\frac{\alpha }{2 }) } [/tex]

С решението на г-жа Симеонова се получава следното:

[tex]c=\frac{2p}{sin\alpha +cos\alpha +1 } [/tex]

[tex]S_{\Delta ABC }=\frac{c^{2 }sin\alpha sin\beta }{2sin\gamma }=\frac{c^{2 }sin\alpha cos\alpha }{2 } [/tex]

[tex]S_{\Delta ABC }=\frac{(\frac{2p}{sin\alpha +cos\alpha +1 } )^{2 }sin\alpha cos\alpha}{2 } [/tex]

[tex]S_{\Delta ABC }=\frac{\cancel4p^{2 }sin\alpha cos\alpha}{\cancel2[(sin\alpha +cos\alpha )^{2 }+2(sin\alpha +cos\alpha )+1] } [/tex]

[tex]S_{\Delta ABC }=\frac{2p^{2 }sin\alpha cos\alpha }{sin^{2 }\alpha +2sin\alpha cos\alpha +cos^{2 }\alpha +2sin\alpha +2cos\alpha +1 } [/tex]

[tex]S_{\Delta ABC }=\frac{\cancel2p^{2 }sin\alpha cos\alpha }{\cancel2(sin\alpha cos\alpha +sin\alpha +cos\alpha +1) } [/tex]

[tex]S_{\Delta ABC }=\frac{p^{2 }sin\alpha cos\alpha }{(1+sin\alpha )(1+cos\alpha ) } [/tex]

Искам да попитам дали този отговор е тъждество със следния:

[tex]S_{\Delta ABC }=\frac{p^{2 }cos\alpha tg\frac{\alpha }{2 } }{sin^{2 }(45^\circ -\frac{\alpha }{2 }) } [/tex]

Ако да, как да докажа тъждеството? Благодаря предварително!

[Grievery]

Някакви идеи как да докажа тъждеството? Само тази задача ми остана...

[_sssss]

[tex]\frac{p^2 sin\alpha cos\alpha }{(1+sin\alpha)(1+cos\alpha)}=\frac{p^2 cos\alpha tg{\frac{\alpha}{2}}}{sin^2 (45-{\frac{\alpha}{2}})}[/tex]

[tex]\frac{sin\alpha}{2(1+sin\alpha)cos{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{sin{\frac{\alpha}{2}}}{sin^2 (45-{\frac{\alpha}{2}})}[/tex]

[tex]\frac{2sin{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}}{2(1+sin\alpha)cos{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{sin{\frac{\alpha}{2}}}{sin^2 (45-{\frac{\alpha}{2}})}[/tex]

[tex]2sin^2 {(45-\frac{\alpha}{2})}=2(1+sin\alpha)[/tex]
[tex]1-cos(90-\alpha)=2 + 2sin\alpha[/tex]
[tex]3sin\alpha=-1[/tex]

Или аз бъркам в преобразуванията, или ти бъркаш в решението. Не съм го гледала.

[Grievery]

Не знам... на тази задача, да се намери лицето на правоъгълен триъгълник по дадени [tex]\alpha[/tex] и [tex]p[/tex], е даден отговор [tex]S_{\Delta ABC }=\frac{p^{2 }cos\alpha tg\frac{\alpha }{2 }}{sin^{2 }(45^\circ -\frac{\alpha }{2 }) } [/tex]
Ако знаеш как да стигна до него... Благодаря предварително!